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中学数学「1次方程式」文章題の解き方①【代金、個数】

投稿日:2018年8月21日 更新日:

中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。

今回からいよいよ「1次方程式の利用」、つまり文章題に入ります。

 

方程式の文章問題を解く手順は以下のとおりです。

(1)求めるものを \(x\) とする

(2)等しい関係をみつけて方程式をつくる

(3)方程式を解く

(4)問題に合っているか確かめる

 

この手順はすでにいろんな所で言われているので、知っているという人もいるでしょう。

でも、自分で実際に解こうとするとできない。

これがつまずく本当の原因ですよね。

 

とくに①と②の段階で困ることが多い。

「求めるものが2つあるときはどうすればいいの?」

「等しい関係って、どうみつけたらいいの?」

こんな悩みを抱える中学生を、わたしは数千人以上も指導してきました。

 

そこでここからは、問題パターン別に、文章問題の解き方のコツをぜんぶ伝授します。

つまり、「こんな問題ならこっちを \(x\) とする」とか、「こういう場合はこうやって式をつくる」というパターンを、ぜんぶ紹介します。

代金や個数、分配、年齢、整数や自然数、平均、過不足の問題、道のりの問題、割合の問題、図形の問題、規則性の問題…

ぜんぶのパターンが頭に入ったら、どんな問題でもやっつけられます。

だからひとつずつ焦らず、解き方のコツを身につけていってください。

 

1回目は「代金と個数」。

ここで方程式文章題の基本となる考え方も合わせて紹介します。

今後のすべての問題の基礎となるので、かならず読んでから次に進んでくださいね。

 

方程式文章題の基本の解き方

それでは、以下の例題を解いていきながら、文章題の基本を学びましょう。

例題1)40円のかごに、1個80円のみかんを何個かつめたら、代金は1000円だった。みかんの個数を求めよ。

方程式の手順に沿って、ていねいにやっていきます。

これくらいわかる!って人も、最初なんでまぁ付きあってください。


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(1)求めるものを \(x\) とする

まず求めるものは「みかんの個数」です。

よって一行目には「みかんの個数を \(x\) 個とする」等と書きます。

 

このとき、\(x\) に単位があればかならず付けること。

「みかんの個数を \(x\) とする」等と書いちゃう中学生、注意です。

なぜなら最初に単位を書かないと、\(x\) が何を表しているんだったか、あやふやになるから。

いまはまだいいですが、過不足・速さ・図形の問題などで困ります。

「長いす13人」と答えてしまったり。

道のりを \(x\) としたのに、時間とごっちゃにしたり。

面積を求めるのに「45cm」で終わったり。

こういうミスのないよう、\(x\) に単位があれば必ず付けましょう。

 

(2)等しい関係をみつけて方程式をつくる

次に等しい関係をみつけて、=でつないだ式、つまり方程式をつくります。

これを苦手とする中学生がとても多い。

つまり、文章から式になおすということがむずかしいんですね。

そこで、式をつくるときのコツを3つ伝授します。

「代金と個数」に限らず、あらゆる方程式文章題で役立つコツです。

それは↓

①イラストを描いてイメージする

②\(x\) の代わりに具体的な数字を入れてみる

③何算するか考える

 

①まず文章問題は「何を言ってるのかイメージしにくい」というのが難点です。

文章だけですからね。マンガじゃないし、イラスト付きでもないし。

だから自分で、かんたんなイラストを描いてやるんです。

たとえば、こんなかんじ↓

べつに上手な絵じゃなくてかまいません。

自分にとってイメージしやすい、さっと描けるものでいいです。

文章だけじゃイメージしにくい!と感じたら、絵を描く練習と思って、イラストを描くようにしてみてください。

 

②イラストを描いても、まだどんな式をつくったらいいかわからない。

そんな場合は、\(x\) の代わりに具体的な数字を入れてみます。

たとえばみかんの個数が \(x\) 個じゃなくて \(5\) 個だったら?

1個80円のみかんが \(5\) 個あったら?

みかんの値段は、ぜんぶで、そう、400円ですね。

ちなみにこれをかごにつめたら、440円ですね。

 

いま、400円は何算で出しましたか?

そう、かけ算。\(80 \times5\) 。

じゃ、\(5\) 個を \(x\) 個に戻したら、みかんの値段はぜんぶで \(80x\) 円。

これを40円のかごにつめます。

440円は何算で出しましたか?

そう、たし算。\(400+40\) 。

だから買った金額の合計は、\(80x+40\) となる。

 

これが1000円と等しいから、方程式は

$$80x+40=1000$$

 

このように、方程式をつくるときには

①イラストを描いてイメージする

②\(x\) の代わりに具体的な数字を入れてみる

③何算するか考える

この3つのコツを常に意識するといいでしょう。

(ちなみにこれらのコツは「文字と式」数量の表し方でも紹介したものです)

中学数学「文字と式」でつまずく原因と解決法④ 数量の表し方

 

(3)方程式を解く

あとは、つくった方程式を解くだけです。

\begin{eqnarray} 80x+40 &=&1000 \\ 80x &=&1000-40 \\ 80x &=&960 \\ x &=&12 \end{eqnarray}

ちなみにこの方程式を解く段階でつまずくという生徒は、文章題ではなく計算に原因があります。

よって、以下の過去記事を参照して、適宜復習してください。

〇1次方程式 導入

〇1次方程式 移項と基本計算

〇1次方程式 かっこ、小数

〇1次方程式 分数

 

(4)問題に合っているか確かめる

方程式が解けたら、答えの確かめをおこないます。

やりかたは、一行目の文に解を入れてみるんです。

「みかんの個数を \(12\) 個とする」。

おかしい?おかしくない?

おかしくないよね。

これがたとえば

「みかんの個数を \(-12\) 個とする」とか

「みかんの個数を \( \frac{7}{3}\) 個とする」

だったら明らかにおかしい。

計算ミスか、あるいは作った式がまちがってます。

 

この確かめを、文章題では必ずおこなうこと。

それだけで、正答率がかなりちがってきます。

5秒で終わります。

必ず実施してください。

 

最後に、単位つきで答えを書きます。

単位忘れや単位まちがいにも注意しましょう。

最後だからって気がぬけて、「12」や「12円」とか書く生徒もいます。

できた解答をながめて、まちがってないかもう一度確認するとよりいいですね。

 

以上、方程式文章題の基本の解き方でした。

 

 

「代金と個数」問題のコツ(未知数が2つ)

ここまでの話は、どの文章問題にも当てはまる基本です。

ここからは「代金と個数」問題の解き方のコツをお話ししていきます。

まず、わからない数が2つある問題。

問題パターン別に例題を出していくので、一緒に考えていきましょう。

 

合わせて~

例題2)50円のハガキと80円の切手を合わせて10枚買い、620円払った。ハガキと切手をそれぞれ何枚買ったか求めよ。

この例題では、ハガキの枚数と切手の枚数という2つを求めなければなりません。

このように、求めるものが2つある問題のコツは、一方を \(x\) とし、もう一方は \(x\) を使った式で表すです。

なかでも「合わせて●」という文ならば、好きな方を \(x\) とし、もう一方は ●\(-x\) と表すことができます。

 

たとえば例題2の場合、まずハガキの枚数か切手の枚数、好きなほうを \(x\) とします。

好みの問題なんで、どっちでもかまいません。

このようにハガキの枚数のほうを \(x\) とした、とします。

すると、もう一方の切手の枚数は \(10-x\) となります。

(たとえばハガキの枚数が3枚だったら切手は何枚ですか?そう、7枚ですね。いま7を何算で出しましたか?そう、\(10-3\) というひき算ですね。だからハガキが \(x\) 枚なら切手は \(10-x\) 枚となるんです)。

こうして求めるものが両方とも \(x\) を使って表せたら、次は等しい関係をみつけて方程式をつくります。

先に述べた3つのコツも随時活用してくださいね。

あとは方程式を解いて、確かめをして(ついでに切手の枚数も \(10-6=4\) と計算して)、答えを書きます。

 

このように、「合わせて●」なら、一方を \(x\) とし、他方を●\(-x\) と表す。

これが未知数2つ問題の解き方のコツです。

このコツを利用して、以下の類題も解いてみてください。

(解答は問題文下をドラッグすると現れます)

問1)1本150円のジュースと1本130円のお茶を合わせて12本買ったら、代金が1720円だった。ジュースとお茶をそれぞれ何本買ったか求めよ。
答)ジュース8本、お茶4本

問2)1個110円のりんごと1個60円のみかんを合わせて8個買って、120円のかごにつめたら、ちょうど700円だった。りんごとみかんをそれぞれ何個買ったか求めよ。
答)りんご2個、みかん6個

問3)1冊1300円の問題集と1冊100円のノートを合わせて7冊買い、5000円出したら700円のおつりがあった。問題集とノートをそれぞれ何冊買ったか求めよ。
答)問題集3冊、ノート4冊

 

 

BはAより~

例題3)鉛筆を5本とボールペンを3本買ったら代金が760円だった。ボールペン1本の値段は鉛筆1本の値段より40円高い。鉛筆とボールペンの値段をそれぞれ求めよ。

このような大小問題も、代金と個数でよく出てきます。

つまりAとBという2つの未知数があって、「BはAより~円高い(安い)」とか「BはAより~個多い(少ない)」とか「BはAの~倍」とか「BはAの半分」とかという大小の条件がある問題です。

ここでもわからない数が2つあるので、一方を \(x\) とし、もう一方を \(x\) を使った式で表すというのは同じです。

そして「BはAより~」という条件文がある問題では、Aを \(x\) とし、Bを条件文どおりの式で表すというのがコツになります。

 

たとえば例題3の場合、「ボールペン1本の値段は鉛筆1本の値段より40円高い」とある。

だから鉛筆1本の値段のほうを \(x\) とします。

そしてボールペン1本の値段は、条件文より、\(x+40\) と表せるのです。

(もし鉛筆が100円だったらボールペンは何円?そう、140円ですね。140は何算しましたか?そう、\(100+40\) というたし算ですね。だから鉛筆が \(x\) 円だったらボールペンは \(x+40\) 円なんです)。

こうして未知数2つを表せたら、あとはやることは一緒です。

等しい関係をみつけて方程式をつくる、その方程式を解く、確かめをする(ついでにボールペンの値段も \(80+40=120\) と求める)、最後は単位を忘れずに答えを書きます。

 

くりかえしますが、未知数が2つあって、かつ「BはAより~」という大小関係の文を見つけたら、Aを \(x\) とする、そしてBは条件どおりに式を作って表すというのがコツです。

たとえば「女子は男子より3人多い」とあれば、男子を \(x\)人とし、女子を \(x+3\)人とする。

「りんごはみかんより4個少ない」とあれば、みかんを \(x\)個とし、りんごを \(x-4\)個とする。

「ニンジンの本数は大根の5倍」とあれば、大根を \(x\)本とし、ニンジンを \(5x\)本とする。

「消しゴムの値段はシャーペンの半分」とあれば、シャーペンを \(x\)円とし、消しゴムを \(\frac{1}{2}x\)円とする。

この解き方のコツを利用して、類似の問題をやっつけていってください。

以下、練習問題を載せておきます。

(答はドラッグで反転)

問4)プリン4個とゼリー2個を買ったら代金は780円だった。ゼリーはプリンより30円安い。プリンとゼリーの値段をそれぞれ求めよ。
答)プリン140円、ゼリー110円

問5)姉と妹の所持金は合計で5200円で、姉は妹の3倍のお金をもっている。姉と妹の所持金はそれぞれ何円か求めよ。
答)姉3900円、妹1300円

問6)4mのロープをA,B2人で分ける。BのほうをAより30cm短くするように分けると、A,Bのロープはそれぞれ何cmになるか求めよ。
答)A215㎝、B185㎝

*問6)はいわゆる「分配」問題ですが、未知数2つで大小関係の条件文があるので、ここで紹介した解き方で解けます。

分配問題について詳しくは次回の記事を参照。

 

「代金と個数」問題のコツ(残金)

最後に「残金」問題の解き方について解説します。

このような残金の問題は求めるものが1つなので、何を \(x\) とするかは難しくありません。

難しいのはそのあと、等しい関係をみつけて方程式をつくるときですね。

ここでのコツは、2段階に分けて考えることです。

つまり、

①それぞれの残金を \(x\) を使って表す

②文に沿って等式(=方程式)をつくる

以下、具体的な解き方を見てみましょう。

例題4)兄は860円、弟は940円持っていたが、同じボールを兄は2個、弟は3個買ったので、兄の残金は弟の残金の3倍になった。ボール1個の値段を求めよ。

まず求めるものは「ボール1個の値段」なので、それを \(x\) とします。

ここから2段階に分けて、方程式をつくっていきます。

 

①それぞれの残金を \(x\) を使って表す

兄は860円持っていて、\(x\) 円のボールを2個買いました。

兄の残金はいくらですか?

そう、\(860-2x\) ですね。

また弟は940円持っていて、\(x\) 円のボールを3個買いました。

弟の残金はいくらですか?

そう、\(940-3x\) ですね。

このように、まずはそれぞれの残金を \(x\) を使って表しましょう。

(難しい場合はイラストを描く、\(x\) の代わりに具体的な数を入れる、何算するか考えるというコツを使って表してください)。

 

②文に沿って等式をつくる

残金の問題の場合、文章中にかならず等しい関係を表す一文があります。

この問題の場合は「兄の残金は弟の残金の3倍になった」が、それです。

この文に沿って、あれこれ難しく考えず、等式をつくればいいんです。

つまりこれ。

$$860-2x=3(940-3x)$$

方程式がつくれないという生徒はよく、あれこれ難しく考えすぎていることがあります。

文に沿って素直につくっていけばいいからね。

あとはつくった方程式を解き、確かめて、答えを書くだけです。

 

このように「代金と個数」における残金の問題では、

①まずそれぞれの残金を \(x\) を使って表す

②等しい関係を表す文に沿って等式をつくる

この2段階に分けて考えれば解いていくことができます。

この方法で、以下、類題を解いてみてください。(答はドラッグで反転)

問7)大泉君は1000円、安田君は820円持っていて、二人とも同じ本を買ったら、大泉君の残金は安田君の2倍になった。本代を求めよ。
答)640円

問8)森崎君は4000円、音尾君は1500円持って買い物に行き、同じハンカチを森崎君は3枚、音尾君は1枚買ったところ、森崎君の残金は音尾君の残金の2倍より120円多くなった。ハンカチ1枚の値段を求めよ。
答)880円

問9)鈴井君と戸次君はあわせて2000円持っていたが、鈴井君が800円、戸次君が300円使ったので、鈴井君の残金は戸次君の2倍になった。鈴井君ははじめ何円持っていたか求めよ。
答)1400円

*問9)は合わせて~問題と組み合わせています。わからない場合はコメント欄から質問ください、お答えします。

 

 

ちなみにこの解き方は「分配」「年齢」「貯金」の文章問題でも利用できます。

つまり分配の問題も、年齢の問題も、貯金の問題も、ぜんぶやり方は残金の問題といっしょ。

①分配したり、年月が経ったり、貯めたり下ろしたりした後の数を \(x\) を使って表す

②文に沿って等式(=方程式)をつくる

この2段階でいけば、どんな問題でも方程式をつくることができます。

詳しくは次回の記事で解説しますね。

 

 

まとめ

〇方程式文章題の手順および基本の解き方は以下のとおり。

(1)求めるものを \(x\) とする

…単位があれば忘れずに付けること。

(2)等しい関係をみつけて方程式をつくる

…方程式をつくるときのコツは3つ

  • イラストを描いてイメージする
  • \(x\) の代わりに具体的な数字を入れてみる
  • 何算するかを考える

(3)方程式を解く

…解く段階でつまずく場合は計算を復習すること。

(4)問題に合っているか確かめる

…一行目に解を入れて読み、おかしくないか確かめる。

…最後、答えを書くときも単位忘れに注意。

 

〇「代金と個数」の文章問題の解き方のコツは以下のとおり。

わからない数が2つある場合は、一方を \(x\) とし、もう一方を \(x\) を使った式で表す。

とくに「合わせて●」という問題なら、一方を \(x\) 、もう一方を ●\(-x\) と表せる。

とくに「BはAより~」という問題なら、Aを \(x\) 、Bを条件文どおりの式で表す。

 

また残金の問題なら、

①まずそれぞれの残金を \(x\) を使って表す

②等しい関係を表す文に沿って等式をつくる

という2段階にわけて方程式を立てるといい。

 

以上、方程式文章題の基本と、「代金、個数」問題の解き方のコツでした。

次回は「分配、年齢、貯金」問題のコツについて解説します。

→中1「1次方程式」の文章題でつまずいたら②【分配、年齢、貯金】







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管理人の重悟(ジュウゴ)です。
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