中１「１次方程式」でつまずく原因と解決法④　分数

前回のつづき。

今回は１次方程式（中学数学）の分数問題について解説します。

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いきなりですが、分数のある方程式は解き方が３つあります。

①そのまま解く

 

②両辺に最小公倍数をかける

 

③両辺に公倍数をかける

 

どの方法でも解けるんです。

ただ①の方法だと、通分がめんどくさい。

③の方法だと数が大きくなって計算ミスしやすい。

なので、中学校はじめほとんどの中等教育では、②の方法を採用しています。

 

この記事でも最小公倍数をかける方法で話をすすめますが、問題によっては

「明らかに分数のまま解いたほうが速い」

「どうしても最小公倍数が出てこない」

なんて問題もあるでしょう。

そんなときは、遠慮なく①または③の方法を使ってください。

方程式ってのは、最終的に解けりゃいいんです。

数学に「この方法でなくちゃダメ」なんてないからね。

前置きはこのへんにして、本題に入ります。

分数のある一次方程式でのつまずきは、何が原因なのか？

そしてどんな具体的解決法があるのか？

４パターンに分けてみていきましょう。

(数学指導法の記事一覧はまとめページへ)

分数のある問題でつまずく

中学生が１次方程式の分数問題でつまずく原因。

それは以下の４パターンに分けられます。

1. 最小公倍数がパッと出てこない
2. (分数)×(整数)が暗算できない
3. 項すべてに最小公倍数をかけることを忘れる
4. 「分子に項２つ」の問題でかっこを付け忘れる

具体例と指導法をそれぞれ詳しく解説します。


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原因１．最小公倍数がパッと出てこない

たとえばこの問題を見て、最小公倍数が「12」とパッと出てこない。

これがつまずく原因その１です。

「これくらいなら大丈夫」という生徒は、次の問題はどうでしょうか。

$$ \frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x +5+ \frac{1}{2}x +4 = x $$

これ、有名な「ディオファントスの生涯（墓碑銘）」という問題です。

6と12と7と2の最小公倍数が「84」と、瞬時に導けますか。

「10秒以上かかった」という人は、最小公倍数に習熟していない可能性があります。

 

そこで、このパターンに当てはまる中学生には、最小公倍数を瞬時に導く訓練が必要です。

以下、指導案をどうぞ。

 

指導案

①２数の最小公倍数に習熟する

まずは２数の最小公倍数がパッと出るようにすること。

習熟方法については、「文字と式」記事でも書いたが、以下３通りがある。

最終的には、考えなくても瞬時に最小公倍数が出るようにすること。

特に「倍数を何度も書く」で２ケタ×１ケタを何度も練習させる。

数週間程度かかるが、この練習が後々生きてくる。

くわしくは「注意点」参照。

 

②３数以上の最小公倍数の求め方：２数ごとにやっつけていく

３数以上の最小公倍数を求めるには、手近なものから順々にやっつけていくこと。

やっつけていく順番は、自分の求めやすいものからでいい。

やり方がわかったら、てきとうな数字を出題し、練習させる。

 

③裏ワザとして：連除法

最後に、どうしても求まらないときには、こんな裏ワザもあると伝える。

 

 

注意点

指導案①と②をすっとばして、いきなり③の連除法だけを教える。

このほうが生徒は喜ぶでしょう。

「倍数を何度も書く」という地味な反復練習もしなくて済みますからね。

しかし数学ができる子になってほしいならば、①と②をさせるべきです。

なぜなら、連除法に頼ったままでは、いつまでたってもテスト時間内に終わらないから。

そして２ケタの倍数を覚えていないと、いろんな問題でつまずくからです。

 

たとえば（2,3,4,6）の最小公倍数を求める場合。

これ、２数同士の最小公倍数がパッと出る生徒なら、パッパッパと「12」と出てきます。

しかし連除法でしか求められない生徒は、横に連除法を書いて、30秒くらいかかるはずです。

このスピードの差が、テスト時間内に収まるかどうかの分かれ目になります。

「やれば絶対にできた、でも時間内に最後までいかなかった」。

こんな生徒を、そのままにしておくのか。

それとも、時間内に解けるような暗算力をつけてあげるのか。

指導案①と②をさせるかどうかは、ここの差になってくるのです。

 

また、指導案①では２ケタの倍数も書かせますが、これは以下のような問題を解けるようにするためです。

これらは１次方程式だけに限った例です。

ほかにも様々な単元で、この先２ケタ×１ケタや２ケタのわり算の計算が、当たり前のように出てきます。

「ちょっと数が大きくなると、すぐできないってなる」。

「２ケタの数字が出るたびに、横に筆算を書いている」。

いつまでもこの状態でいさせるか。

それとも、数学ができる喜びを味わわせてあげるのか。

安易に連除法に頼るかどうかは、ここの差にもなるんです。

というわけで、倍数の並びを身につけて最小公倍数がパッと出るようにしてあげる方法を、私はおススメします。

 

 

原因２：(分数)×(整数)が暗算できない

最小公倍数「12」は出たけど、(分数)×(整数)の計算が頭の中でパッとできない。

これが分数の方程式でつまずく原因その２です。

当ブログでは、ここでつまずかないために、「文字と式」段階で暗算できるようにする指導をおススメしています↓

中学数学「文字と式」でつまずく原因と解決法③　分数まじりの複雑な計算

中１数学「文字と式」の解説３回目。 今回は分数のまじった複雑な計算問題の指導について見ていきます。 つまり、 $$ \frac{2}{5} (10x-25) \quad \frac{4x+5}{3} \times 6 $$...

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2018.06.20

ただ(分数)×(整数)が暗算できないまま、ここまで来てしまった中１もいるでしょう。

そういう中学生のための指導法は、以下のとおりです。

 

指導案

①小６(分数)×(整数)問題の復習

小６「分数のかけ算」のドリルなどを用意して、(分数)×(整数)の問題を示す。

$$ \frac{5}{6} \times 12 $$

ここで、約分の＼を書かずにさせること。

難しければ、約分後の数を頭の中に保持するよう指導すること。

つまりこう。

先生「\(6\) と \(12\) で約分、上に何が残る？」

生徒「\(2\)」

先生「\(5 \times 2\) ？」

生徒「\(10\)」

$$\frac{5}{6} \times 12 = 10 $$

これを自力でパッとできるまで、くりかえさせる。

 

②項をひとつずつ暗算させる

以下のような問題を示し、横にちいさく最小公倍数を書く。

発問していき、項をひとつずつ計算させる。

先生「\( \frac{1}{2}x \times 12\) ？」

生徒「\(6x\)」

先生「\(-\frac{2}{3} \times 12\) ？」

生徒「\(-8\)」…↓

 

③練習

同様の問題を目の前で解かせたのち、自分でできるようになるまで練習させる。

なお、分母をはらったあと、方程式を最後まで解かせるかどうかは生徒の力量による。

方程式の基本計算がバッチリの子であれば、分母をはらうだけでいい。

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2018.07.24

 

 

注意点

②③の段階で、\(x\) をつけ忘れたり符号をまちがえたりする。

そんな生徒には、「符号→数字→文字」の順でこまかく決定させるといいでしょう。

教え方は、前回の記事中の「分配法則」で書いたものと同様です。

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2018.07.31

 

また、横にちいさく最小公倍数を書かせる指導は、まちがえなくなれば止めてかまいません。

逆にいえば、生徒が分母をはらう計算に慣れるまでは、書かせたほうがいいでしょう。

そしてこの「横にちいさく最小公倍数を書く」指導は、次の「項すべてに最小公倍数をかけることを忘れる」場合でも役立ちます。

 

 

 

原因３：最小公倍数のかけ忘れ

このように、項すべてに最小公倍数をかけることを忘れてしまう。

特に分数項と整数項のまじった方程式だと、整数項にもかけるということを忘れる。

これがつまずきの原因その３です。

 

このパターンの計算ミスをする生徒には

• 横にちいさく最小公倍数を書かせる
• 項すべてに下線を引く

という指導が有効です。

 

指導案

①何倍するか、横に書かせる

方程式の横に、「×(最小公倍数)」と書く。

 

②項すべてに下線を引く

項すべてに下線を引く。

そして「項すべてに \( \times12\) する」と伝え、発問していく。

先生「\( \frac{x}{6} \times 12\) ？」

生徒「\(2x\)」

先生「\( \frac{x}{4} \times 12\) ？」

生徒「\(3x\)」

先生「\( 5 \times 12\) ？」

生徒「\(60\)」

 

③練習

できるようになるまで練習。

最後まで解かせるかは、おなじく、生徒の力量をみて。

 

注意点

この指導案は、前回の記事で書いた「小数：10倍、100倍…忘れのミス」における指導とまったく同じです。

前回同様、生徒自身が横に書く、生徒自身が下線を引く、というように導いてあげてください。

こうした補助を書くのは間違えなくなるまで、という点でも同じです。

 

また、見てわかるとおり、\(12 \times 5 \) が暗算でできる必要があります。

つまりここでも、２ケタ×１ケタ（や２ケタのわり算）の暗算力が求められるのです。

そして、「原因２：(分数)×(整数)が暗算できない」に当てはまる生徒の場合もまた、２ケタ×１ケタ（および２ケタのわり算）の暗算力はあったほうがいい。

それは、「ディオファントスの生涯（墓碑銘）」問題を解くことを考えればわかります。

$$ \frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x +5+ \frac{1}{2}x +4 = x $$

この問題を解くには、以下の計算を頭の中でしなければならないからです。

\begin{eqnarray} & &84\div6 \qquad 84\div12 \qquad 84\div7 \\& &84\times5 \qquad 84\div2 \qquad 84\times4 \end{eqnarray}

 

ということは、分数のある方程式がわからない・できない。

その根っこには、２ケタ×１ケタ（および２ケタのわり算）の暗算力不足がある。

だから、たとえ連除法で最小公倍数が機械的に出せるようになっても、たとえ１ケタ同士の(分数)×(整数)が暗算できるようになっても、たとえ方程式の横や下に補助を書いてかけ算忘れがなくなっても、いまだ分数の方程式が苦手である…。

そんな生徒にはやはり、上で書いたように、２ケタ×１ケタの練習が必要なんです。

もういちど言います。

安易に連除法に頼らせないで、倍数の並びを身に付けさせてください。

結果として、それが一番の近道です。

 

 

原因４：「分子に項２つ」の問題

さて、ここまでが分数方程式の基本です。

最後はすこし応用範囲になります。

上図のような「分子に項が２つある」分数の方程式。

これ、中学２年生で本格的に学びますが、発展課題として中１で出てくることもあります。

 

ここで、図のような計算ミスが多発します。

そのような生徒には、分母をはらったあとに必ずかっこを付けることを徹底させましょう。

 

指導案

①正しい解法でやってみせる

分子に項２つの方程式では、分母をはらったあと、必ずかっこを付けると伝える。

そのうえで、以下のように正しい解法を示す。

 

②目の前でさせてみる

類題を出して、目の前で解かせる。

\begin{eqnarray} \frac{4x-5}{2}- \frac{5x-7}{3} &=& \frac{1}{8} \\ \frac{3x-2}{4}+ \frac{7x+8}{9} &=& \frac{x+5}{6}- \frac{10x-11}{12} \end{eqnarray}

（解は順に \(x=\frac{7}{8}\) 、\(x=\frac{49}{79}\) ）

 

③練習

まちがえなくなるまで、練習。

 

注意点

なぜかっこを付けたままにするべきか？

その理由は、以下のとおりです。

疑問に思う生徒には、以上の内容を伝えてあげてください。

 

また、②の類題として出した問題のふたつめ。

$$ \frac{3x-2}{4}+ \frac{7x+8}{9} = \frac{x+5}{6}- \frac{10x-11}{12} $$

これくらいの問題がサッと解けたら、「数学ができる」部類に入りますね。

この問題が解けるためには、

• 4と9と6と12の最小公倍数が「36」と瞬時にひらめく
• \(36\div12=3\) と瞬時に暗算できる
• \(79x=49\) まで来たときに「79と49の公約数はない」と瞬時に思える

こうした暗算力が必要です。

そしてそのためには、少なくとも11～19の倍数が頭に入っている。

つまり２ケタ×１ケタの答えをだいたい覚えてるという状態が必要なんです。

 

前々回の記事で、中１段階における中学数学でのつまずきは、おおもとの原因を突き詰めていくと、途中式を書く習慣がないことと計算力不足の２つだと書きました。

このうち計算力不足は、鍛えることで解消できます。

鍛えるとはつまり、反復練習をおこなって神経回路を強化し、正しい行動を即座にアウトプットできるようにすることです。

３回目ですが、しつこいくらい言います、

倍数の並びを身につけさせて。

 

 

まとめ

分数のある１次方程式でつまずく原因は４つ。

 

＊それでも「分数にがて」という生徒は、２ケタ×１ケタの暗算力不足。

この機会に、倍数の並びを何回も練習して、２ケタ×１ケタ（と２ケタのわり算）を暗算できるようにすべき。

 

さて、中１数学「１次方程式」計算単元における解説は以上です。

次回からは文章題に入ります。

文章問題ができない…

どこから手をつけていいか、解き方さえわからない…

そんなつまずきに対しての解消法をお教えします。

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