中学数学「文字と式」でつまずく原因と解決法③ 分数まじりの複雑な計算

②以下のような問題を示し、おなじく約分後の数を頭の中に保持するよう指導していく。

$$ \frac{4x-5}{3} \times 6 $$

先生「$3$ と $6$ で約分。上に何が残る？」

生徒「$2$」

先生「$2$ を分配する。$4x \times 2$ で？」

生徒「$8x$」

先生「$-5 \times 2$ で？」

生徒「$-10$」

\begin{eqnarray} & &\frac{4x-5}{3} \times 6 \\&=& 8x-10 \end{eqnarray}

目の前で数問させた後、類題を練習させる。

中学1年数学標準問題集: 3ステップ式

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中学教育研究会増進堂・受験研究社 2016-02-25

③以下のような問題を示し、おなじく約分後の数を頭の中に保持するよう指導していく。

$$ -12 \times \left( \frac{x}{4} + \frac{5}{6} \right ) $$

先生「$-12$ と $4$ で約分。上に何が残る？」

生徒「$3$」

先生「符号つきで答えて」

生徒「あ、$-3$」

先生「$-3 \times x$ で？」

生徒「$-3x$」

\begin{eqnarray} & &-12 \times \left( \frac{x}{4} + \frac{5}{6} \right ) \\&=& -3x \end{eqnarray}

先生「つぎ。$-12$ と $6$ で約分。どっちに何が残る？」

生徒「上に $-2$」

先生「そう。$-2 \times +5$ で？」

生徒「$-10$」

\begin{eqnarray} & &-12 \times \left( \frac{x}{4} + \frac{5}{6} \right ) \\&=& -3x-10 \end{eqnarray}

目の前で数問させた後、類題を練習させる。

中学教科書ワーク東京書籍版新編新しい数学 1年

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文理 2016-03-07

くもんの中学基礎がため100%中1数学計算編―学習指導要領対応

④以下のような問題を示し、おなじく約分後の数を頭の中に保持するよう指導していく。

$$ \frac{2}{5} (10x-45) $$

先生「$5$ と $10x$ で約分。どっちに何が残る？」

生徒「上に $2x$」

先生「$2 \times 2x$ で？」

生徒「$4x$」

先生「つぎ。$5$ と $-45$ で約分。どっちに何が残る？」

生徒「上に $-9$」

先生「$2 \times -9$ で？」

生徒「$-18$」

\begin{eqnarray} & &\frac{2}{5} (10x-45) \\&=& 4x-18 \end{eqnarray}

目の前で数問させた後、類題を練習させる。

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くもん出版 2012-02-01

注意点

目の前でさせたとき、つまったり、ミスしたりする生徒もいます。

そんな子には、前回の記事↓で指摘したように、「符号」→「数字」→「文字」の順でこまかくさせるといいでしょう。

前回につづき、中１数学「文字と式」の具体的な教え方について解説します。今回はかっこ外しと分配法則です。ただその前に、ひとつ注意すべき点があります。それは文字式の計算単元に入った段階で、途中式を書く...

また、②や④の計算でむずかしがる生徒には、約分後の数字を書かせてもいいでしょう。

つまり↓のように、です。

ただ③の計算では、書かせずに、必ず暗算させることが大切。

なぜなら分母がふたつあるので、約分後の数字がそれぞれちがうからです。

約分後の数を頭の中で保持し、それをかける。

基本的には、この暗算ができるようになることが、当単元で求められる力です。

できるまで、練習させてください。

中学1年数学標準問題集 3ステップ式中学標準問題集 / 中学教育研究会【全集・双書】

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中学数学「正負の数」でつまずく原因と解決法②　乗除、累乗

ちなみに、なぜここでは途中式を書かせず、暗算できるようにすべきなのか？

それは、上でもちょっと書きましたが、次の「１次方程式」の以下のような問題で困らないようにするためです。

$$ \frac{2}{3}x – \frac{3}{4} = \frac{1}{2} x+ \frac{5}{6} $$

この方程式をかんたんに解くには、両辺に最小公倍数12をかけて、整数にします。

$$ 8x-9 = 6x+10 $$

このとき、頭の中で、以下の計算を暗算できないといけません。

$$ 12 \times \frac{2}{3}x \quad 12 \times -\frac{3}{4} \quad 12 \times \frac{1}{2}x \quad 12 \times \frac{5}{6} $$

約分を暗算でできない中学生は、ここでつまずくのです。

だから前もって、約分を暗算できる力をつけてあげるのです。

先々を見据えて、つまずきやすい石はあらかじめ取り除いてあげる。

「途中式を書かせるべきかどうか」は、つねにこのことを念頭において判断すべきと考えます。

[関連記事]
中１「１次方程式」④　分数

分配法則：わり算

次に、「分数まじりの分配わり算」について。

先程の「分数まじりの分配かけ算」とちがい、ここでは、逆数にしてかける途中式を書かせる指導をおこないます。

ただそれができれば、ここは難しくない。

ここを難しいと感じるなら、それはいままでの単元の何かが抜けているということ。

つまり「分数まじりの分配わり算」問題は、いままで身につけるべき力をちゃんと身につけているか、そのチェックポイントになるのです。

原因と解決策

前単元までの何かの力が欠けている

ここでつまずく原因は、これです。

具体的に、どんな力が足りないとどのようなつまずきが起こるのか、見てみましょう。

１．「÷とは逆数をかけること」という発想が身についてない

$ (9x-6) \div 3 $ はできるけど、

$ (9x-6) \div 15 $ になると手が止まる。

こんな生徒をよくみかけます。

これは、「÷とは逆数をかけること」という発想がまだ身についていないためです。

わり算とはすべて逆数にしてかけることだと、徹底しましょう。

くわしくは正負の数：乗除の記事内「指導案：除法が混じるとまちがえる生徒に」を参照してください。

前回につづき、中学数学の最初の単元「正の数・負の数」を解説します。いわゆる勉強のしかたではなく、どのように教えたらいちばん理解が早いのかという具体的な教え方を書いていきます。正負の数でつまずいた生徒。わからない・でき...

２．途中式を書く習慣がまだ身についてない

÷とは逆数をかけるんだと教えても、なお手が止まる。

そんな生徒は、いまだ途中式を書く習慣が身についていない可能性があります。

いままでも散々言ってきたことと思いますが、ここでも再度、途中式を書くことを徹底しましょう。

途中式を書かせる指導について、くわしくは、以下の過去記事などを参照してください。

中学数学「正負の数」でつまずく原因と解決法③　四則混合、分配法則

中学数学「正の数・負の数」解説の３回目。勉強のしかたではなく、どのように教えたらいちばん理解が早いのかという具体的な教え方を書いていきます。正負の数でつまずいている生徒。わからない・できないという生徒。定期テ...

３．分数のかけ算が暗算できない

かけ算にした途中式までは書ける。

しかし、その後の分配計算でミスしたり手が止まる。

これは、分数のかけ算が暗算でできないのが原因です。

解決策は、上で述べたように、約分後の数を頭の中で保持させる指導。

再度、当記事の最初を参照して、できるように導いてください。

分配わり算の計算でつまずく原因は、主に以上の３つです。

それぞれ、過去記事にすでに解決案を書いていますので、生徒の状況によって適宜復習させてください。

「分子に項２つ同士」の加減

最後に、上図のような計算について。

こんな問題が「文字と式」単元最後の計算になります。

ここでつまずく場合もやはり、いままでの単元の何かが抜けているということ。

どこでつまずいたら、どんな力が足りないのか、具体的に示しますので、それぞれ復習させましょう。

原因と解決策

分子に項２つ同士の加減には、３段階の計算が必要です。

\begin{eqnarray} & &\frac{3x-y}{4}- \frac{5x-7y}{6} \\&=& \frac{3(3x-y)-2(5x-7y)}{12} \\&=& \frac{9x-3y-10x+14y}{12} \\&=& \frac{-x+11y}{12} \end{eqnarray}

どの段階でつまずくかによって、原因と解決策はちがってきます。

１．１行目から２行目でつまずく

最初の途中式が書けない。

こんな場合は、分数のたし算・ひき算ができないということです。

よって前回の記事内「分数計算ができない」を参照して、指導しましょう。

２．２行目から３行目でミスする

分子の分配法則の計算でまちがえる。

こんな場合は、分配法則の基本問題でつまずいています。

やはり前回の記事内の「分配法則でまちがえる」を参照してください。

中学数学「文字と式」でつまずく原因と解決法①　文字式計算の導入

３．３行目から４行目でミスする

最後、分子の同類項をまとめることができない。

こんな場合は、文字式の最初の計算に原因があります。

よって前々回の記事「最初の計算でつまずく」をまるごと参照し、復習させてあげてください。

中学数学の教え方について、具体的に解説するこの連載。今回から中学１年生の２単元目「文字と式」になります。文字式になって数学がわからなくなった… 文字式の計算で、利用でつまずいている… そんな生徒への指導に、ご参考...

４．４行目の約分でまちがえる

たとえば、以下のようなミスをする生徒をたまにみかけます。

\begin{eqnarray} &=& \frac{6x-5}{8} \\&=& \frac{3x-5}{4} \end{eqnarray}

つまり、片方だけと約分してしまうミスです。

こんな生徒には、３つぜんぶ揃わないと約分できないと伝えましょう。

そして実際にやってみせ、類題を数問させてみてください。

その後、約分できるのかできないのか、正しく判断できるようになったら、はじめて理由を伝えます。

$$ \frac{6x-5}{8} = \frac{6}{8}x -\frac{5}{8} $$

理由は上のとおりです。

だから３つ揃ってはじめて約分できるんだと、納得（＝記憶を強化）させてあげてください。

以上の４つが、分子に項２つ同士の加減における、つまずく原因・解決策です。

すべて解決してあげれば、どの生徒もスラスラ正答していくでしょう。

中学教科書ワーク（数学　1年）東京書籍版新編新しい数学

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くもんの中学基礎がため100％中1数学（計算編）改訂新版学習指導要領対応

まとめ

○$ \frac{4x+5}{3} \times 6 $ などでつまずく生徒に…

まず(分数)×(整数)の問題が暗算できるように復習する。

そして約分後の数を頭の中に保持することで、途中式を書かずともできるように導く。

難しがる生徒には「符号」→「数字」→「文字」の順でこまかく計算させる。また、約分後の数をちいさく書かせてもよい。

＊途中式をいつまでも書いていたら、次の「１次方程式」でつまずくから。

○$ (9x-6) \div (-15) $ などでつまずく生徒に…

前単元までの何かの力が欠けていることが原因。該当箇所を復習する。

「÷とは逆数をかけること」という発想が欠けている
→正負の数：乗除

途中式を書く習慣が欠けている
→小５の分数、かっこ外し、四則混合

分数のかけ算が暗算できない
→当記事の最初

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