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数学

中学数学「正負の数」でつまずく原因と解決法② 乗除、累乗

投稿日:2018年5月22日 更新日:

前回につづき、中学数学の最初の単元「正の数・負の数」を解説します。

いわゆる勉強のしかたではなく、どのように教えたらいちばん理解が早いのかという具体的な教え方を書いていきます。

正負の数でつまずいた生徒。

わからない・できないという生徒。

定期テストでぼろぼろだった生徒。

そんな子への指導案として、ご参考ください。

 

[関連記事]

正負の数①:加減、かっこ外し

正負の数③:四則混合、分配法則



 

今回は正負の数における乗除および累乗について。

とくに、以下のようなまちがいをしてしまう生徒、

$$-5 \div (-6) \times 7 = \frac{ 5 }{ 42 }$$

$$3^2 = 6 \qquad (-4)^2 = -16$$

つまり、3つ以上の乗除計算でまちがえてしまう。

また、累乗の計算でよくまちがえる。

これら2点について、原因、解決法、注意点をそれぞれ解説していきます。


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3つ以上の乗除計算でまちがえる

項が3つ以上のかけ算になると、符号ミスをよくしてしまう。

また、かけ算(乗法)とわり算(除法)のまじった計算になるとわからなくなる。

こんな生徒をたまにみかけます。

こうした場合、2つの事柄を徹底することで解決していきます。

 

原因

正負の数の乗法・除法でつまずく原因は3つです。

  1. 乗除の符号ルールがきちんと身についていない
  2. 「÷とは逆数をかけること」という発想が頭にない
  3. 小学校の分数のかけ算・わり算でつまずいている

このうち3.の生徒とは、「式の途中で」「最大公約数で」パッと約分することができない子です。

たとえば18と27の最大公約数がなかなか出てこない場合が、これに当たります。

小6の分数計算問題を用意して、「式の途中で」「最大公約数で」約分することを徹底しつつ、反復練習させてください。

なお、最大公約数を求めるのにどうしても時間がかかる生徒は、以下3通りの方法のどれかを試すといいでしょう。

 

さて、問題は1.と2.の場合です。

しかし対処はカンタン。

1.の場合、乗除の符号ルールを徹底する。

2.の場合、「÷とは逆数をかけること」と徹底する。

これだけで、生徒のつまづきは解消されます。

以下、具体的な指導例をみていきましょう。


指導案:符号ミスをする生徒に

符号ルールを復習する。

「かけ算・わり算の符号は、マイナスが偶数個あったら+、奇数個あったら-」と言う。

そして以下のような式を示す。

加えて、いくつか例を出して問う。

「じゃあ-が5つあったら?」「マイナス」、

「-が100コかけてたら?」「プラス」など。

 

「かけ算・わり算はまず符号を決める」と伝える。

次に例題を示して、「-は何個ある?」と聞く。

\begin{eqnarray} -2 \times (-3) \times (-4) \end{eqnarray}

生徒「3コ」

教師「じゃ答えの符号は+-どっち?」

生徒「マイナス」

この時点で「-」と書く。

\begin{eqnarray} & & -2 \times (-3) \times (-4) \\ &=& – \end{eqnarray}

教師「あとは、数字をかけ算して」

生徒「24」

教師「そう、答えは-24」

と言って、「-24」と書く。

\begin{eqnarray} & & -2 \times (-3) \times (-4) \\ &=& -24 \end{eqnarray}

 

あと1.2問、例題を出して、今度は生徒にさせる。

「符号は?」「数字は?」の順で聞いて、書かせる。

 

同様の練習問題を一緒に解く。

生徒が計算に慣れてきたら、自分でさせる。

 

指導案:除法が混じるとミスる生徒に

小学校時の分数のわり算を一緒に復習する。

以下のような例題を用いて、確認していく。

\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \div \frac{3}{5} &=& \frac{1}{4} \times \frac{5}{3} \\ &=& \frac{5}{12} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \div 3 &=& \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \\ &=& \frac{1}{12} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} 7 \div 3 &=& 7 \times \frac{1}{3} \\ &=& \frac{7}{3} \end{eqnarray}

 

「このように、わり算とはすべて、すぐうしろの数を上下ひっくり返してかければいい」、「つまり、逆数にしてかけ算する」と伝える。

そして以下のような例題を出して、生徒に示しながら解いていく。

\begin{eqnarray} & & -5 \div (-6) \times 7 \end{eqnarray}

「符号はどっち?」「プラス」

\begin{eqnarray} & & -5 \div (-6) \times 7 \\ &=& (+) \end{eqnarray}

「÷のうしろだけひっくり返す」

\begin{eqnarray} & & -5 \div (-6) \times 7 \\ &=& (+) \ 5 \times \frac{1}{6} \times 7 \end{eqnarray}

「上下わかりやすいように、こう書いてもいい」

\begin{eqnarray} & & -5 \div (-6) \times 7 \\ &=& (+) \ \frac{5}{1} \times \frac{1}{6} \times \frac{7}{1} \end{eqnarray}

「1をいちいち書くのめんどくさいから、こう書いてもいい」

\begin{eqnarray} & & -5 \div (-6) \times 7 \\ &=& (+) \ \frac{5 \times 7}{6} \end{eqnarray}

「約分できるトコロはある?」「ない」

「じゃ計算して」「6分の35」「OK」

\begin{eqnarray} & & -5 \div (-6) \times 7 \\ &=& (+) \ \frac{5 \times 7}{6} \\ &=& \frac{35}{6} \end{eqnarray}

 

あと1、2問、例題を出して、今度は生徒にさせる。

約分できる問題、分数のある問題がいい。

「符号は?」「÷のうしろだけひっくり返す」「約分できる?」

という声かけを随時していく。

 

同様の練習問題を一緒に解く。

生徒が計算に慣れてきたら、自分でさせる。

 

注意点

符号ミスをする生徒の場合、まず答えの符号を決める、ということが大事。

符号でよくまちがえるというのは、符号と計算の同時処理を頭の中でうまくできない子です。

つまり並列処理が苦手なので、「符号」→「数字」という順でするように指導しましょう。

 

また、除法が混じるとわからない場合、「すべて逆数にしてかける」と徹底すること。

ジュウゴは「この世にわり算もない!÷というマークは、すぐうしろをひっくり返してかけろって記号だ!」と言ってます。

 

ただここで、\(-5 \div (-6) \times 7\) の7まで逆数にしてしまう生徒がいます。

ジュウゴは例題解説を終えた後、わざとこんな間違いをしてみせて、「どこがおかしい?」と生徒に聞きます

「7までひっくり返してる!」と生徒が気づいたら、「そう、これよくやるまちがい。気をつけろ」と。「すぐ前に『÷』がある数だけひっくり返すんだ」と伝えます。

 

なお、「答えを小数にしなくていいの?」と聞く生徒もたまにいます。

いいと。答えを小数にするのは小学校までなんだと。

中学・高校の数学では分数メインなんだと、ジュウゴは伝えています。

(この理由はたぶん、数学は正確性を求めること、循環小数表記もOKにしたらテストの答案用紙に収まりきらないこと、そもそも「÷」記号でなく分数表記でわり算を教える国が多いこと、の3つから来ていると思います。推測なんで、どなたか詳しい人教えてください)。

 

なぜこの教え方か?

「マイナス×マイナス=プラス」になる理由。

「わり算は逆数をかけることと同じ」なのはなぜか。

これらを説明しようとする人もいるでしょう。

子どもの疑問に応えたい、数学は暗記ではないとわかってほしい、計算ルールの背後にあるすばらしい世界をちょっとでも見せたい。

そんな気持ちもわかります。

 

しかしそれは、すでに計算に習熟した学力上位者だけにすべきことです。

ミスもなく、スピードも速い。テストも毎回ほぼ満点。

そして数学の魅力をもっと知りたい。

そんな生徒には、たとえば以下の動画を見せたら喜んでくれると思います。

「なぜ負の数と負の数をかけると正の数になるのか」カーンアカデミー

 

一方で、計算がまだおぼつかない、ミスが多い、つまずいている、わからない…。

そんな生徒にはまず理由なしでルールをびしっと徹底することが先決です。

なぜなら、人はルールに習熟してから初めて、その背後にある理由を知りたがるから。

そして、数学においてはルールの背後にある理由を理解することのほうが難しいから。
(「なぜこうなるのか」を突きつめていくと現代数学の公理系まで行きついてしまう)

「-を偶数個かけたら+、奇数個かけたら-になる!」

「÷はすぐうしろの数だけ逆数にしてかける!」

まずはびしーっとルールを伝えて、びしーっと計算に習熟させる。

余話として理由を語るのはそれからだと、ジュウゴは考えます。

 

 

累乗の計算でまちがえる

次に「正負の数の乗除」における累乗計算について解説します。

累乗においても、上図のようにつまずく生徒を散見します。

このつまづきは主に2つの原因から来ているので、それぞれ対処してやれば解消していきます。

 

原因

  • 「2乗」と「2倍」を混同している
  • 累乗がどこまでかかるのかを理解できてない

累乗でまちがえる原因はこの2つに尽きます。

とくに \( 3^2 = 6 \quad 5^2 = 10 \) 等と、累乗とかけ算をごっちゃにしてしまう場合がよくあります。

ただこんな生徒に、「2倍じゃない、2乗だ、3を2回かけるんだ」などと説明しても、また同じミスをくりかえすことが多い。

そもそも数学の弱い生徒というのは国語力も低い傾向にあるからです。

そこで、こんな生徒には、主な累乗の答えを暗記させるという方法が効果的です。


指導案:2乗と2倍をミスする生徒に

以下のような式を書いていき、累乗を理解させる。

最初は「2の3乗は2かける2かける2で、8」のように言いながら書く。

生徒の理解度に応じて、「4の2乗は?」などと質問していく。

そして十分に理解してきたと思ったら、途中式を省いていく。

 

途中式をすべて消し、「いまから5分で、この答えをすべて覚えてもらう」と言う。

練習用の紙を用意して、「書いておぼえたい場合はこれ使って」と渡す。

なお、途中の計算を書いたら不正解とするとも伝える。

 

5分後、以下のような問題を出して、1分間でテストする。

十分に覚えていなかった場合は、来週再テストなどとする。

 

 

指導案:累乗の範囲をミスする生徒に

以下の式を書いて、累乗の範囲を囲む。

「この2乗は (-4) 全体にかかる。だから (-4) を2回かける」

と言って、計算過程と、答えを書く。

 

②以下の式を書いて、累乗の範囲を囲む。

「この2乗は 4 だけにかかる。だから-は残して、 4 を2回かける」

と言って、計算過程と、答えを書く。

 

類題をいくつか示し、累乗の範囲を生徒に囲ませる。

そして「-は何個かけてる?」「じゃあ符号はどっち?」「数字は?」と順に声かけをして、正しい答えを導かせる。

\begin{eqnarray} & & (-3)^2 = 9 \\ & & -3^2 = -9 \\ & & (-5)^2 = 25 \\ & & (-5^2) = -25 \\ & & (-2)^3 = -8 \\ & & (-2^3) = -8 \end{eqnarray}

 

以下の式を示し、同じように累乗の範囲を囲ませる。

$$(-5)^2 \times (-2^2)$$

「-はぜんぶで何個ある?」「3コ」

「じゃ符号はどっち?」「マイナス」

→次の式の頭に「-」と書く。

\begin{eqnarray} & & (-5)^2 \times (-2^2) \\ &=& –  \end{eqnarray}

「あとは数字の計算。5の2乗は?」「25」

「2の2乗は?」「4」

→つづきに25×4と書く。

\begin{eqnarray} & & (-5)^2 \times (-2^2) \\ &=& – \ 25 \times 4 \end{eqnarray}

最後に答えを書く。

\begin{eqnarray} & & (-5)^2 \times (-2^2) \\ &=& – \ 25 \times 4 \\ &=& -100 \end{eqnarray}

 

同様の練習問題を一緒に解く。

生徒が計算に慣れてきたら、自分でさせる。

 

注意点

累乗の答えを暗記させるときは、時間を区切ること

「5分後にテスト」などと伝えることで、生徒はヤル気を出し、暗記する際の集中力も高まります。

数学の場合にかぎらず、何かを暗記するときには制限時間を設けるといいでしょう。

「いかに子どもの頭をフルスロットルの状態にするか」。

子どもの能力を高めたい場面では、ジュウゴは常にこのことを意識しています。

 

また、累乗の範囲を囲むという指導法は、生徒が計算に習熟してきたらやめさせるようにしましょう。

これはあくまで、累乗の範囲を明確にするための一時的な方法です。

ジュウゴの場合、生徒が10問以上自力で正答できたときに、声かけします。

「もう囲まなくても、できる?」などと言って。

 

なお、累乗をふくむかけ算の場合、符号は先に決めても、最後に決めてもかまいません。

ただ先述したとおり、並列処理の苦手な子に関しては「先に符号を決める」で統一すべきでしょう。


なぜこの教え方か?

「答えを暗記させる」などと言うと、「そんな方法で子どもの考える力が養われるのか」と疑問に思う方もいます。

実際ジュウゴも保護者面談で、数学の教え方の話になったとき、よく言われました。

そんなとき私は以下の式を書き、「答えはなんですか?」と聞きます。

$$ 7 + 4 $$

みなさんノータイムで「11」と言います。

そこでこう伝えます。「今、お母さんは7+4の答えを覚えているので、素早く答えが出せました。でもこれが、『4は3と1に分けられて、7+3で10、残りが1だから…』などと考えていたら、時間がかかりすぎます。とても中学・高校の数学についていける計算スピードじゃありません。計算が速いとは、つまり、よく出る計算の答えを知っている・暗記している状態のことを言うんです」と。

 

私たちは何か物事を考えるとき、途中の思考過程を省略しています。

たとえば夕食の買い物に行って、スーパーで豚肉と玉ねぎと生姜が安かったとき、「今日は豚の生姜焼きにしよう!」とひらめいたとします。

このとき脳内では、「豚肉にはビタミンB1が豊富で、玉ねぎに含まれる硫化アリルと一緒に摂取することで吸収が5~6倍になり、さらに生姜の辛みと香りが食欲増進や疲労回復に…」なんて考えたりはしていません。

そんな理解は思考の外。ただただ、「豚肉+玉ねぎ+生姜」=「豚の生姜焼き」というパターンを覚えているにすぎません。

そうじゃないと、陳列棚の前で1時間以上も考えぬくことになります。

 

数学も同じです。

記憶を強固にするため、つまり生徒の納得のために、はじめの理解は必要です。

しかしいちど理解したなら、あとは結果を瞬時に使えるように、途中の思考過程を省略してパターン化して暗記する。

そうでないと、中学・高校数学で求められる計算スピードについていけないんです。

「わかってたけど時間が足りなかった」。テストでこう言う生徒には、この思考過程の省略と結果の暗記ができていないのです。

 

実際、数学のできる生徒ほど、よく出る2桁のかけ算の答えや、100以内の素数、主な2乗の答えなどを覚えて使っています。

だから累乗につまずく生徒にも、自信をもって答えを覚えさせてあげてください。

ちなみにジュウゴは中3の最初で、\( 11^2 \) ~ \( 19^2 \) の答えも暗記させます。

\( x^2 – 26x + 169 \) の因数分解や、\( \sqrt{ 289 } \) の根号を外すときに役立つからです。



まとめ

○3つ以上の乗除計算でまちがえる生徒に…

符号ミスが多い場合、まず乗除の符号ルールを徹底する。そして「先に符号を決めて」計算させることで混乱を防ぐ。

除法が混じるとミスする場合、まず分数のわり算を復習して、「÷とは逆数をかけること」と徹底する。そして問題を解くなかで間違えやすいミスをあらかじめ提示して注意させる。

小学校の分数計算でつまずいている場合は、小6の分数のかけ算・わり算を復習。「式の途中で」「最大公約数で」約分できるまで反復練習させること。

*「なぜマイナス×マイナス=プラスになるか」などは、計算に習熟したあとで。

 

○累乗計算でまちがえる生徒に…

2乗と2倍を混同する場合、主な累乗の答えを暗記させる。暗記させる際は、まず理解させ、次に時間をくぎって覚えさせること。

累乗の範囲を理解していない場合、累乗の範囲を□で囲ませる。習熟してきたらこの四角囲みはやめさせてよい。

*計算が速い状態とは、途中の思考過程を省略できる脳内回路であるということ。この意味で、数学は暗記。



この記事は管理人のジュウゴが、過去の経験といろんな書籍情報をもとに書いています。

今後のさらなる経験や情報によって、改訂されていく余地アリです。

よって教育に携わる方からのご意見・ご感想は大歓迎です。

下のコメント欄から、随時おまちしています。

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管理人の重悟(ジュウゴ)です。
30代、ライター兼ブロガー。

西洋史専攻の知識と民間教育経験を基に、
歴史と教育について書いていきます。

科学と数学についてはヘタの横好き。
ラーメンも大好き。
彼女いわく「ちょっと変態」。

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