中学数学「１次方程式」文章題の解き方のコツ。
３回目は「整数の問題」「自然数の問題」について。
つまり
- ある数を求める問題
- 大小２つの数を求める問題
- わり算の問題
- 連続する整数の問題
- ２ケタの自然数の問題
これら５パターンの文章題、その解き方のコツを解説していきます。
方程式文章題がわからない・できないという中学生もだいじょうぶ。
わかりやすく丁寧に解説していくので、ひとつずつ理解していきましょう。
また塾講師や家庭教師、保護者の方もぜひ参考にしてください。
ある数を求める問題
整数・自然数の方程式文章題。
まず初めは、ある数を求める問題について。
この問題で悩むとしたら、方程式を立てるところです。
そこでむずかしいと感じる中学生は、前回の記事でおススメしたように、２段階に分けて方程式をつくるといいでしょう。
方程式を立てるときのコツ
例１）ある数を３倍して８をたすところ、まちがえて８倍してから３をたしたら、正しい答えより40大きくなった。ある数を求めよ。
この例題の場合、求めるものは「ある数」なので、一行目には「ある数を \(x\) とする」等と書きます。
次に方程式をつくりますが、ここで混乱して悩むときには、以下のように２段階に分けるのがコツです。
①正しい答え、まちがえた答えをそれぞれ x を使って表す
②等しい関係を表す文に沿って、等式をつくる
正しい答えは「ある数を３倍して８をたす」です。
よって、正しい答えは？
\(3x+8\) ですね。
またまちがえた答えは「ある数を８倍してから３をたし」です。
よって、まちがえた答えは？
\(8x+3\) ですね。
このように、まず正しい答えとまちがえた答えそれぞれを \(x\) を使って表します。
つづいて、等しい関係を表す文を、文章中から探します。
例題１の場合、「（まちがえた答えは）、正しい答えより40大きくなった」がそれです。
この文に沿って、あれこれ難しく考えず、等式をつくればいい。
$$8x+3=(3x+8)+40$$
これですね。
以上のように、方程式を立てるときに悩む場合は、
①正しい答え、まちがえた答えをそれぞれ \(x\) を使って表す
②等しい関係を表す文に沿って、等式をつくる
この２段階に分けて方程式を立てるのがコツになります。
練習問題
ちなみに例題１を最後まで解くと、以下のとおりです。
例１）ある数を３倍して８をたすところ、まちがえて８倍してから３をたしたら、正しい答えより40大きくなった。ある数を求めよ。
解答例）ある数を \(x\) とする。
\begin{eqnarray} 8x+3&=&(3x+8)+40 \\ 8x+3&=&3x+8+40 \\ 8x-3x&=&8+40-3 \\ 5x&=&45 \\ x&=&9 \end{eqnarray}
答．９
もちろんカンタンに方程式を作れるという人は、いきなり方程式をつくってかまいません。
むずかしいと感じる中学生のみ、２段階に分けるといいでしょう。
２段階に分けて方程式をつくることについては、前回の記事でくわしく解説しています↓
それでは練習問題を２つほど載せておきます。
チャレンジしてみてください。
（質問はコメント欄からどうぞ）
問１）ある数の４倍に６を加えたら、もとの数の５倍より７小さくなった。ある数を求めよ。
問２）ある数を３倍して２を引くところ、まちがえて２倍してから３を引いたら、正しい答えより12小さくなった。ある数を求めよ。
問１）１３
問２）１１
大小２つの数を求める問題
整数・自然数の方程式文章題。
２パターン目は、大小２つの数を求める問題について。
このような問題では、方程式を立てる以前に、求めるもの２つをどう表したらいいかに悩みます。
結論をいえば「一方を \(x\) とし、もう一方を \(x\) を使って表す」というのがコツだと、１回目の記事で書きました。
そして「どっちを \(x\) としたらいいか」についても、解説しました。
「合わせて～」「和が～」ならば、どっちを \(x\) としてもＯＫ。
「ＢはＡより～」「ＢはＡの～倍」ならば、Ａを \(x\) とすると。
求めるものを表すコツ（合わせて～）
例２）大小２つの数があり、和は27で、差は5である。２つの数を求めよ。
この例題では、求めるものは大小２つの数です。
そして「和は27」とあります。
このように、「和が●」「合わせて●」とあったら、
○一方を x とし、もう一方は ●-x と表せる
○どっちを x としてもＯＫ
これがコツになります。
たとえば「大きいほうの数を \(x\) とする」としましょう。
すると、「小さいほうの数は \(27-x\) と表せる」。
これらの差が５です。もちろん大－小＝５ってことです。
よって方程式はこれ。
$$x-(27-x)=5$$
あるいは「小さいほうの数を \(x\) とする」としましょう。
すると、「大きいほうの数は \(27-x\) と表せる」。
これらの差が５です。もちろん大－小＝５ってことです。
よって方程式はこれ。
$$(27-x)-x=5$$
どっちで解いても、答えは「大．１６ 小．１１」になります。
以上のように、求めるものが２つあり、「和が●」「合わせて●」ならば、
○一方を \(x\) とし、もう一方は ●\(-x\) と表せる
○どっちを \(x\) としてもいい
これが解き方のコツです。
＊「差は5である」ことを使って、以下のように表してもかまいません。
つまり例題２は、ぜんぶで４通りの解き方があるということです。
求めるものを表すコツ（ＢはＡより）
類例１）大小２つの数があり、大きい数は小さい数より７大きい。…
類例２）大小２つの数があり、大きい数は小さい数の３倍である。…
類例３）大小２つの数があり、小さい数は大きい数の半分である。…
やはり２数を求める問題で、これらの類例のように「ＢはＡより～」という条件の問題もあります。
このように、「ＢはＡより～」という条件文があったら、
○Ａのほうを x とする
○Ｂは条件文どおりに表す
というのが、解き方のコツになります。
だから類例１は、「小さい数を \(x\) とする。大きい数は \(x+7\) と表せる」。
類例２は「小さい数を \(x\) とする。大きい数は \(3x\) と表せる」。
類例３は「大きい数を \(x\) とする。小さい数は \( \frac{1}{2}x\) と表せる」。
こうやって求める２数を表しましょう。
あとはそのあとに続く文にそって、等式をつくり、解くだけです。
ここまで解説した「求める数が２つある問題」について、くわしくは１回目の記事の後半で書いています。
「『代金と個数』問題のコツ（未知数が２つ）」という項目です、あわせてご参照ください↓
練習問題
では大小２つの数を求めるパターンの練習問題も載せておきます。
チャレンジしてみてください。
解き方がわからない場合はコメント欄から質問ください。
（答えは末尾に記載）
問３）大小２つの数があり、その和は42で、差は4である。２つの数を求めよ。
問４）大小２つの数があり、大きい数は小さい数の３倍である。また２つの数の和は28である。２つの数を求めよ。
問３）２３と１９
問４）２１と７
わり算の問題
ここまでの内容はある意味、前回までの復習です。
「代金と個数」問題や「分配と年齢と貯金」問題の解き方をつかって解くことができます。
しかし整数・自然数の方程式文章題では、このような「わり算問題」も出てきます。
どのように解けばいいのか、コツを見ていきましょう。
方程式を立てるときのコツ
例３）ある数を19でわると、商は４で余りが５になった。ある数を求めよ。
この例題は、求めるものを表すことはむずかしくありません。
「ある数を求めよ」なんで、「ある数を \(x\) とする」等と書くだけです。
むずかしいのはその後、方程式を立てる段階ですね。
ここで中学生がよくやる間違いが、これ↓
$$x \div19 =4 \ldots 5$$
文に沿ってすなおに式を作るのは基本なんですが、式中に「・・・」なんて入ってたら、その方程式は解けません。
だからわり算問題に限っていえば、文章どおりに等式を作ってはダメなんです。
代わりに使うべきは、以下の等式です。
(わられる数)＝(わる数)×(商)＋(余り)
わり算においてはつねにこの関係式が成り立ちます。
これを使って、方程式をつくるんです。
つまりこれ。
$$x=19 \times 4 +5$$
（解くと、答えは８１）
このように、わり算にかんする方程式文章題では、
(わられる数)＝(わる数)×(商)＋(余り)
この関係式をつかって方程式をつくるのがコツです。
ちなみにこの関係式は、中学２年時の「式による説明」や、高校１年時の「数学Ａ 整数の性質」などでも使います。
おぼえておくとそれだけでひとつ差をつけられるコツです、ぜひ記憶にとどめておきましょう。
練習問題
では、わり算の練習問題も載せておきます。
（答えは末尾に記載）
問５）ある数の３倍を７でわると、商が５で余りが１になった。ある数を求めよ。
問６）ある数の７倍を28でわると、商が３で余りがある数自身になった。ある数を求めよ。
問５）１２
問６）１４
連続する整数の問題
整数・自然数の方程式文章題。
４パターン目は、「連続する整数」問題についてです。
この例題のような「連続する３つの整数」のほかにも、「連続する３つの偶数」や、「連続する３つの奇数」など、とにかく連続する数が出てくる文章題は、入試・模試・実力テスト等で特によくみかけます。
どのように解けばいいのか、その解き方のコツを見ていきましょう。
[関連記事]
求めるものを表すコツ（整数）
例題４）連続する３つの整数があって、その和は72である。この３つの整数を求めよ。
このような「連続する整数」問題でむずかしいのは、方程式を立てる以前。
つまり「連続する３つの整数を、\(x\) を使ってどう表したらいいのか」というところです。
この表し方のコツも、わり算問題とおなじく、もう覚えちゃってください。
連続する３つの整数の表し方は、以下の３通りになります。
○はじめの整数を x として、[x, x+1, x+2]
○２番目の整数を x として、[x-1, x, x+1]
○３番目の整数を x として、[x-2, x-1, x]
このうちどの表し方でもＯＫ。
自分の好みで選んでください。
こう表せる理由は、連続する整数って１ずつ増えるからです。
[3,4,5]とか、[-11,-10,-9]とか、ぜんぶ。
だから別に連続する整数が３つじゃなくて、２つでも、４つでも、５つでも、同じ考え方で表せます。
たとえば「連続する５つの整数」だったら、\(x-2. x-1, x, x+1, x+2\) とかね。
こうして求めるものをすべて \(x\) を使って表せたら、あとは文に沿って方程式をつくり、解くだけです。
例題４であれば、以下３通りのどれかです。
いずれの解き方でも、答えは「２３、２４、２５」になります。
以上のように、連続する整数を表すときには
\(x-1, x, x+1\) などと１ずつ増やして表す。
これがコツです。
求めるものを表すコツ（偶数、奇数）
上記の考え方を発展させれば、「連続する偶数」や「連続する奇数」も表せます。
連続する偶数は、たとえば[6,8,10]とか[-4,-2,0]。
連続する奇数は、たとえば[1,3,5]とか[-11,-9,-7]。
どちらも２ずつ増えます。
よって、連続する３つの偶数or奇数であれば、
○はじめの偶数or奇数を x として、[x, x+2, x+4]
○２番目の偶数or奇数を x として、[x-2, x, x+2]
○３番目の偶数or奇数を x として、[x-4, x-2, x]
などと表せるのです。
これでもう、連続する偶数or奇数がいくつあっても、表せますね。
たとえば「連続する４つの偶数」だったら、\(x, x+2, x+4, x+6\) とか。
「連続する５つの奇数」だったら、\(x-4, x-2, x, x+2, x+4\) とかね。
以上のように、連続する偶数or奇数を表すときには、
\(x-2, x, x+2\) などと２ずつ増やして表す。
これがコツです。
練習問題
では、連続する整数、偶数、奇数の練習問題も載せます。
チャレンジしてみてください。
不明な点はコメント欄からどうぞ。
（答えは末尾に記載）
問７）連続する４つの整数があって、その和は66である。この４つの整数を求めよ。
問８）連続する３つの偶数があって、その和は114である。この３つの偶数を求めよ。
問７）１５、１６、１７、１８
問８）３６、３８、４０
２ケタの自然数の問題
整数・自然数の方程式文章題。
最後は「２桁の自然数」問題の解き方です。
この問題もやはり、求めるものをどう表したらいいのかに悩みます。
つまり、２ケタの自然数を \(x\) を使って表す方法に困るんです。
このコツを、お金を例にして解説します。
求めるものを表すコツ
例５）一の位が６である２桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より９大きい。もとの自然数を求めよ。
この例題でわからないのは、もとの２ケタの自然数の「十の位」ですね。
よってまず「２桁の自然数の十の位を \(x\) とする」等と書きます。
ここで、中学生がよくやる間違い。それは、
もとの２ケタの自然数を「\(x6\)」としちゃう。
位を入れかえた自然数を「\(6x\)」としちゃう。
これではダメなんです。
なぜなら \(x6\) も \(6x\) も、式中では \(x\) と \(6\) のかけ算を表すからです。
たとえば３４という２ケタの自然数って、\(3 \times4\) じゃないもんね。
では、３４という２ケタの自然数をどう表せばいいのか、「３４円」とお金で考えてみましょう。
いま、あなたは３４円持っています。
10円玉は何枚ありますか？そう、３枚ですね。
1円玉は何枚ありますか？そう、４枚ですね。
ってことは、
３４円＝10円×３枚 ＋ 1円×４枚
なんです。
これをより一般化すると、「○△」という２ケタの自然数は
10×○ ＋ △ と表せる（1×は省略できる）。
これが２ケタの自然数を式中で表すときのコツなんです。
このコツを使って、例題５に出てくる２ケタの自然数をそれぞれ表すと、以下のとおりです。
例５）一の位が６である２桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より９大きい。もとの自然数を求めよ。
２桁の自然数の十の位を \(x\) とする。
もとの２ケタの自然数：\(10 \times x +6 =10x+6\)
位を入れかえた自然数：\(10 \times 6 +x =60+x\)
以上のように、「○△」という２ケタの自然数は
10×○ ＋ △ と表す。
このコツを使って、方程式文章題を解いていってください。
練習問題
ちなみに例題５を最後まで解くと、以下のとおりです。
例５）一の位が６である２桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より９大きい。もとの自然数を求めよ。
解）２桁の自然数の十の位を \(x\) とする。
もとの２桁の自然数は \(10x+6\) と表せる。
また、一の位と十の位を入れかえた数は \(60+x\) と表せる。
\begin{eqnarray} 60+x&=&(10x+6)+9 \\ x-10x&=&6+9-60 \\ -9x&=&-45 \\ x&=&5 \end{eqnarray}
答.５６
なお、上で示したお金の考え方をつかえば、３ケタの自然数でも４ケタの自然数でも表せます。
たとえば「□○△」という３ケタの自然数は 100×□ ＋ 10×○ ＋△ です。
100円玉が□枚、と考えるだけですね。
このコツもあわせておぼえておくと、テストや入試で役立ちます。
では、最後の練習問題です。
問９）十の位が７である２桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より36小さい。もとの自然数を求めよ。
問１０）十の位の数と一の位の数の和が11となる２桁の自然数がある。十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より45大きい。もとの自然数を求めよ。
問９）７３
問10）３８
＊連立方程式 文章題の整数・自然数問題はこちら
まとめ
中学数学「１次方程式」文章題の整数・自然数問題。
その解き方のコツをまとめます。
ある数を求める問題で、方程式をつくるときに迷ったら…
- まずそれぞれを \(x\) を使って表す
- 等しい関係を表す文に沿って、等式をつくる
この２段階に分けて方程式を立てるといい。
大小２つの数を求める問題で、求めるものを表すときには…
- 「和が●」「合わせて●」なら、どちらか一方を \(x\) としてもう一方は ●\(-x\) と表す
- 「ＢはＡより～」「ＢはＡの～」なら、Ａを \(x\) としてＢは条件文どおりに表す
わり算の問題で、方程式をつくるときには…
- (わられる数)＝(わる数)×(商)＋(余り)
この関係式を使う。
連続する整数・偶数・奇数の問題で、求めるものを表すときには…
- 連続する整数は \(x-1,x,x+1\) 等と１ずつ増やして表す
- 連続する偶数・奇数は \(x-2,x,x+2\) 等と２ずつ増やして表す
２ケタの自然数の問題で、求めるものを表すときには…
- 「○△」という自然数は 10×○＋△
長い記事になっちゃいました、おつかれさまでした。
次回は、方程式文章題の「平均」。
中学１年生がよく数学嫌いになるところです。
その解き方のコツについて、解説します。
[関連記事]
○文章題③【整数、自然数】
コメント
問１０）十の位の数と一の位の数の和が11となる２桁の自然数がある。十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より45大きい。もとの自然数を求めよ。
これの解き方がわかりません。
教えてください。
よろしくおねがいします。
たとえば以下のとおりです。
十の位の数をxとする。
２桁の自然数は 10x+(11-x) と表せる。
また入れかえた数は 10(11-x)+x と表せるので、
10(11-x)+x=10x+(11-x) +45
解いて x=3
よって 11-3=8
「３４円」の説明はわかりやすいですね。
整数の問題は、他の文章題と関連させてもよいかもしれませんね。
（例えば、割り算の問題と過不足の問題）
問６）ある数の７倍を28でわると、商が３で余りがある数自身になった。ある数を求めよ。
ある数自身になったの意味がわかりません。
教えてください。
ある数をｘとすると、
「ｘの７倍を28でわると、商が３で余りがｘになった」という意味です。