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中学数学「1次方程式」文章題の解き方③【整数、自然数】

投稿日:2018年9月6日 更新日:

中学数学「1次方程式」文章題の解き方のコツ。

3回目は「整数の問題」「自然数の問題」について。

つまり

  • ある数を求める問題
  • 大小2つの数を求める問題
  • わり算の問題
  • 連続する整数の問題
  • 2ケタの自然数の問題

これら5パターンの文章題、その解き方のコツを解説していきます。

方程式文章題がわからない・できないという中学生もだいじょうぶ。

わかりやすく丁寧に解説していくので、ひとつずつ理解していきましょう。

また塾講師や家庭教師、保護者の方もぜひ参考にしてください。

[関連記事]

1次方程式の文章題① 代金、個数

1次方程式の文章題② 分配、年齢、貯金

ある数を求める問題

整数・自然数の方程式文章題。

まず初めは、ある数を求める問題について。

この問題で悩むとしたら、方程式を立てるところです。

そこでむずかしいと感じる中学生は、前回の記事でおススメしたように、2段階に分けて方程式をつくるといいでしょう。

 

方程式を立てるときのコツ

例1)ある数を3倍して8をたすところ、まちがえて8倍してから3をたしたら、正しい答えより40大きくなった。ある数を求めよ。

この例題の場合、求めるものは「ある数」なので、一行目には「ある数を \(x\) とする」等と書きます。

次に方程式をつくりますが、ここで混乱して悩むときには、以下のように2段階に分けるのがコツです。

①正しい答え、まちがえた答えをそれぞれ \(x\) を使って表す

②等しい関係を表す文に沿って、等式をつくる

 

正しい答えは「ある数を3倍して8をたす」です。

よって、正しい答えは?

\(3x+8\) ですね。

またまちがえた答えは「ある数を8倍してから3をたし」です。

よって、まちがえた答えは?

\(8x+3\) ですね。

このように、まず正しい答えとまちがえた答えそれぞれを \(x\) を使って表します。

 

つづいて、等しい関係を表す文を、文章中から探します。

例題1の場合、「(まちがえた答えは)、正しい答えより40大きくなった」がそれです。

この文に沿って、あれこれ難しく考えず、等式をつくればいい。

$$8x+3=(3x+8)+40$$

これですね。

 

以上のように、方程式を立てるときに悩む場合は、

①正しい答え、まちがえた答えをそれぞれ \(x\) を使って表す

②等しい関係を表す文に沿って、等式をつくる

この2段階に分けて方程式を立てるのがコツになります。

 

練習問題

ちなみに例題1を最後まで解くと、以下のとおりです。

例1)ある数を3倍して8をたすところ、まちがえて8倍してから3をたしたら、正しい答えより40大きくなった。ある数を求めよ。

解答例)ある数を \(x\) とする。

\begin{eqnarray} 8x+3&=&(3x+8)+40 \\ 8x+3&=&3x+8+40 \\ 8x-3x&=&8+40-3 \\ 5x&=&45 \\ x&=&9 \end{eqnarray}

答.9

もちろんカンタンに方程式を作れるという人は、いきなり方程式をつくってかまいません。

むずかしいと感じる中学生のみ、2段階に分けるといいでしょう。

2段階に分けて方程式をつくることについては、前回の記事でくわしく解説しています↓

中学数学「1次方程式」文章題の解き方②【分配、年齢、貯金】

 

それでは練習問題を2つほど載せておきます。

チャレンジしてみてください。

(答えは一行下をドラッグで反転)

問1)ある数の4倍に6を加えたら、もとの数の5倍より7小さくなった。ある数を求めよ。
答)13

問2)ある数を3倍して2を引くところ、まちがえて2倍してから3を引いたら、正しい答えより12小さくなった。ある数を求めよ。
答)11

 

 

大小2つの数を求める問題

整数・自然数の方程式文章題。

2パターン目は、大小2つの数を求める問題について。

このような問題では、方程式を立てる以前に、求めるもの2つをどう表したらいいかに悩みます。

結論をいえば「一方を \(x\) とし、もう一方を \(x\) を使って表す」というのがコツだと、1回目の記事で書きました。

そして「どっちを \(x\) としたらいいか」についても、解説しました。

「合わせて~」「和が~」ならば、どっちを \(x\) としてもOK。

「BはAより~」「BはAの~倍」ならば、Aを \(x\) とすると。


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求めるものを表すときのコツ(合わせて~)

例2)大小2つの数があり、和は27で、差は5である。2つの数を求めよ。

この例題では、求めるものは大小2つの数です。

そして「和は27」とあります。

このように、「和が●」「合わせて●」とあったら、

○一方を \(x\) とし、もう一方は ●\(-x\) と表せる

○どっちを \(x\) としてもOK

これがコツになります。

 

たとえば「大きいほうの数を \(x\) とする」としましょう。

すると、「小さいほうの数は \(27-x\) と表せる」。

これらの差が5です。もちろん大-小=5ってことです。

よって方程式はこれ。

$$x-(27-x)=5$$

 

あるいは「小さいほうの数を \(x\) とする」としましょう。

すると、「大きいほうの数は \(27-x\) と表せる」。

これらの差が5です。もちろん大-小=5ってことです。

よって方程式はこれ。

$$(27-x)-x=5$$

 

どっちで解いても、答えは「大.16 小.11」になります。

以上のように、求めるものが2つあり、「和が●」「合わせて●」ならば、

○一方を \(x\) とし、もう一方は ●\(-x\) と表せる

○どっちを \(x\) としてもいい

これが解き方のコツです。

 

*「差は5である」ことを使って、以下のように表してもかまいません。

つまり例題2は、ぜんぶで4通りの解き方があるということです。

 

求めるものを表すときのコツ(BはAより~)

類例1)大小2つの数があり、大きい数は小さい数より7大きい。…

類例2)大小2つの数があり、大きい数は小さい数の3倍である。…

類例3)大小2つの数があり、小さい数は大きい数の半分である。…

やはり2数を求める問題で、これらの類例のように「BはAより~」という条件の問題もあります。

このように、「BはAより~」という条件文があったら、

○Aのほうを \(x\) とする

○Bは条件文どおりに表す

というのが、解き方のコツになります。

 

だから類例1は、「小さい数を \(x\) とする。大きい数は \(x+7\) と表せる」。

類例2は「小さい数を \(x\) とする。大きい数は \(3x\) と表せる」。

類例3は「大きい数を \(x\) とする。小さい数は \( \frac{1}{2}x\) と表せる」。

こうやって求める2数を表しましょう。

あとはそのあとに続く文にそって、等式をつくり、解くだけです。

 

ここまで解説した「求める数が2つある問題」について、くわしくは1回目の記事の後半で書いています。

「『代金と個数』問題のコツ(未知数が2つ)」という項目です、あわせてご参照ください↓

中学数学「1次方程式」文章題の解き方①【代金、個数】

 

練習問題

では大小2つの数を求めるパターンの練習問題も載せておきます。

チャレンジしてみてください。

解き方がわからない場合はコメント欄から気軽に質問くださいね。

(答えはドラッグで反転)

問3)大小2つの数があり、その和は42で、差は4である。2つの数を求めよ。
答)23と19

問4)大小2つの数があり、大きい数は小さい数の3倍である。また2つの数の和は28である。2つの数を求めよ。
答)21と7

 

 

わり算の問題

ここまでの内容はある意味、前回までの復習です。

「代金と個数」問題「分配と年齢と貯金」問題の解き方をつかって解くことができます。

しかし整数・自然数の方程式文章題では、このような「わり算問題」も出てきます。

どのように解けばいいのか、コツを見ていきましょう。

 

方程式を立てるときのコツ

例3)ある数を19でわると、商は4で余りが5になった。ある数を求めよ。

この例題は、求めるものを表すことはむずかしくありません。

「ある数を求めよ」なんで、「ある数を \(x\) とする」等と書くだけです。

むずかしいのはその後、方程式を立てる段階ですね。

ここで中学生がよくやる間違いが、これ↓

$$x \div19 =4 \ldots 5$$

文に沿ってすなおに式を作るのは基本なんですが、式中に「・・・」なんて入ってたら、その方程式は解けません。

だからわり算問題に限っていえば、文章どおりに等式を作ってはダメなんです。

代わりに使うべきは、以下の等式です。

(わられる数)=(わる数)×(商)+(余り)

わり算においてはつねにこの関係式が成り立ちます。

これを使って、方程式をつくるんです。

つまりこれ。

$$x=19 \times 4 +5$$

(解くと、答えは81)

 

このように、わり算にかんする方程式文章題では、

(わられる数)=(わる数)×(商)+(余り)

この関係式をつかって方程式をつくるのがコツです。

 

ちなみにこの関係式は、中学2年時の「式による説明」や、高校1年時の「数学A 整数の性質」などでも使います。

おぼえておくとそれだけでひとつ差をつけられるコツです、ぜひ記憶にとどめておきましょう。

 

練習問題

では、わり算の練習問題も載せておきます。

わからない場合はコメント欄から聞いてくださいね。

(答えはドラッグで反転)

問5)ある数の3倍を7でわると、商が5で余りが1になった。ある数を求めよ。
答)12

問6)ある数の7倍を28でわると、商が3で余りがある数自身になった。ある数を求めよ。
答)14

 

 

連続する整数の問題

整数・自然数の方程式文章題。

4パターン目は、「連続する整数」問題についてです。

この例題のような「連続する3つの整数」のほかにも、「連続する3つの偶数」や、「連続する3つの奇数」など、とにかく連続する数が出てくる文章題は、入試・模試・実力テスト等で特によくみかけます。

どのように解けばいいのか、その解き方のコツを見ていきましょう。

[関連記事]

1次方程式の文章題① 代金、個数

1次方程式の文章題② 分配、年齢、貯金

 

求めるものを表すときのコツ(連続する整数)

例題4)連続する3つの整数があって、その和は72である。この3つの整数を求めよ。

このような「連続する整数」問題でむずかしいのは、方程式を立てる以前。

つまり「連続する3つの整数を、\(x\) を使ってどう表したらいいのか」というところです。

この表し方のコツも、わり算問題とおなじく、もう覚えちゃってください。

連続する3つの整数の表し方は、以下の3通りになります。

○はじめの整数を \(x\) として、\( [x, x+1, x+2] \)

○2番目の整数を \(x\) として、\( [x-1, x, x+1] \)

○3番目の整数を \(x\) として、\( [x-2, x-1, x] \)

このうちどの表し方でもOK。

自分の好みで選んでください。

 

こう表せる理由は、連続する整数って1ずつ増えるからです。

[3,4,5]とか、[-11,-10,-9]とか、ぜんぶ。

だから別に連続する整数が3つじゃなくて、2つでも、4つでも、5つでも、同じ考え方で表せます。

たとえば「連続する5つの整数」だったら、\(x-2. x-1, x, x+1, x+2\) とかね。

 

こうして求めるものをすべて \(x\) を使って表せたら、あとは文に沿って方程式をつくり、解くだけです。

例題4であれば、以下3通りのどれかです。

いずれの解き方でも、答えは「23、24、25」になります。

 

以上のように、連続する整数を表すときには

\(x-1, x, x+1\) などと1ずつ増やして表す。

これがコツです。

 

 

求めるものを表すときのコツ(連続する偶数、奇数)

上記の考え方を発展させれば、「連続する偶数」や「連続する奇数」も表せます。

連続する偶数は、たとえば[6,8,10]とか[-4,-2,0]。

連続する奇数は、たとえば[1,3,5]とか[-11,-9,-7]。

どちらも2ずつ増えます。

よって、連続する3つの偶数or奇数であれば、

○はじめの偶数or奇数を \(x\) として、\([x, x+2, x+4]\)

○2番目の偶数or奇数を \(x\) として、\([x-2, x, X+2]\)

○3番目の偶数or奇数を \(x\) として、\([x-4, x-2, x]\)

などと表せるのです。

 

これでもう、連続する偶数or奇数がいくつあっても、表せますね。

たとえば「連続する4つの偶数」だったら、\(x, x+2, x+4, x+6\) とか。

「連続する5つの奇数」だったら、\(x-4, x-2, x, x+2, x+4\) とかね。

 

以上のように、連続する偶数or奇数を表すときには、

\(x-2, x, x+2\) などと2ずつ増やして表す。

これがコツです。

 

 

練習問題

では、連続する整数、偶数、奇数の練習問題も載せます。

チャレンジしてみてください。

不明な点はコメント欄からどうぞ。

(答はドラッグで反転)

問7)連続する4つの整数があって、その和は66である。この4つの整数を求めよ。
答)15、16、17、18

問8)連続する3つの偶数があって、その和は114である。この3つの偶数を求めよ。
答)36、38、40

 

 

2ケタの自然数の問題

整数・自然数の方程式文章題。

最後は「2桁の自然数」問題の解き方です。

この問題もやはり、求めるものをどう表したらいいのかに悩みます。

つまり、2ケタの自然数を \(x\) を使って表す方法に困るんです。

このコツを、お金を例にして解説します。

 

求めるものを表すときのコツ

例5)一の位が6である2桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より9大きい。もとの自然数を求めよ。

この例題でわからないのは、もとの2ケタの自然数の「十の位」ですね。

よってまず「2桁の自然数の十の位を \(x\) とする」等と書きます。

ここで、中学生がよくやる間違い。それは、

もとの2ケタの自然数を「\(x6\)」としちゃう。

位を入れかえた自然数を「\(6x\)」としちゃう。

これではダメなんです。

なぜなら \(x6\) も \(6x\) も、式中では \(x\) と \(6\) のかけ算を表すからです。

たとえば34という2ケタの自然数って、\(3 \times4\) じゃないもんね。

 

では、34という2ケタの自然数をどう表せばいいのか、「34円」とお金で考えてみましょう

いま、あなたは34円持っています。

10円玉は何枚ありますか?そう、3枚ですね。

1円玉は何枚ありますか?そう、4枚ですね。

ってことは、

34円=10円×3枚 + 1円×4枚

なんです。

これをより一般化すると、「○△」という2ケタの自然数は

10×○ + △ と表せる(1×は省略できる)。

これが2ケタの自然数を式中で表すときのコツなんです。

 

このコツを使って、例題5に出てくる2ケタの自然数をそれぞれ表すと、以下のとおりです。

例5)一の位が6である2桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より9大きい。もとの自然数を求めよ。

2桁の自然数の十の位を \(x\) とする。

もとの2ケタの自然数:\(10 \times x +6 =10x+6\)

位を入れかえた自然数:\(10 \times 6 +x =60+x\)

以上のように、「○△」という2ケタの自然数は

10×○ + △ と表す。

このコツを使って、方程式文章題を解いていってください。

 

練習問題

ちなみに例題5を最後まで解くと、以下のとおりです。

例5)一の位が6である2桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より9大きい。もとの自然数を求めよ。

解)2桁の自然数の十の位を \(x\) とする。

もとの2桁の自然数は \(10x+6\) と表せる。

また、一の位と十の位を入れかえた数は \(60+x\) と表せる。

\begin{eqnarray} 60+x&=&(10x+6)+9 \\ x-10x&=&6+9-60 \\ -9x&=&-45 \\ x&=&5 \end{eqnarray}

答.56

なお、上で示したお金の考え方をつかえば、3ケタの自然数でも4ケタの自然数でも表せます。

たとえば「□○△」という3ケタの自然数は 100×□ + 10×○ +△ です。

100円玉が□枚、と考えるだけですね。

このコツもあわせておぼえておくと、テストや入試で役立ちます。

 

では、2ケタの自然数の練習問題も載せます。

わからないことがあればコメント欄からどうぞ。

(答はドラッグで反転)

問9)十の位が7である2桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数を入れかえた数は、もとの数より36小さい。もとの自然数を求めよ。
答)73

問10)十の位の数と一の位の数の和が11となる2桁の自然数がある。十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より45大きい。もとの自然数を求めよ。
答)38

 

 

まとめ

中学数学「1次方程式」文章題の整数・自然数問題。

その解き方のコツをまとめます。

 

ある数を求める問題で、方程式をつくるときに迷ったら…

  1. まずそれぞれを \(x\) を使って表す
  2. 等しい関係を表す文に沿って、等式をつくる

この2段階に分けて方程式を立てるといい。

 

大小2つの数を求める問題で、求めるものを表すときには…

  • 「和が●」「合わせて●」なら、どちらか一方を \(x\) としてもう一方は ●\(-x\)と表す
  • 「BはAより~」「BはAの~」なら、Aを \(x\) としてBは条件文どおりに表す

 

わり算の問題で、方程式をつくるときには…

  • (わられる数)=(わる数)×(商)+(余り)

この関係式を使う。

 

連続する整数・偶数・奇数の問題で、求めるものを表すときには…

  • 連続する整数は \(x-1,x,x+1\) 等と1ずつ増やして表す
  • 連続する偶数・奇数は \(x-2,x,x+2\) 等と2ずつ増やして表す

 

2ケタの自然数の問題で、求めるものを表すときには…

  • 「○△」という自然数なら、10×○+△

 

 

長い記事になっちゃいました、おつかれさまでした。

次回は、方程式文章題の「平均」。

中学1年生がよく数学嫌いになるところです。

その解き方のコツについて、解説します。

中学数学「1次方程式」文章題の解き方④【平均】







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管理人の重悟(ジュウゴ)です。
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