中学数学「空間図形」④ 表面積の問題のコツ

中学数学「空間図形」の表面積。

さいごは高校入試過去問から難問を２つ出します。

基本・応用とここまで見てきたあなたなら、解けるはず。

＜１ページ目「基本：表面積の求め方」

＜２ページ目「応用・円錐の表面積」

難問：高校入試問題から

発展問題でよくみかけるのは

• 複雑な立体の表面積
• 紙コップをころがす問題

という２種類です。

それぞれ宮崎県と滋賀県の高校入試問題から出題します。

あえてくわしい解説はしないので、ぜひチャレンジしてみてください。

 

組み合わせた立体の表面積

【ヒント】

複雑な図形を解くコツは「分けて、たす」「大きく求めて、ひく」のどっちか。

＊複雑な図形については以下の記事内でも解説しています。

• 比例と反比例⑤ 座標とグラフ「座標平面上の三角形の面積②」
• 平面図形⑤ 円とおうぎ形「円とおうぎ形の複合図形」
• 空間図形③ 体積「複雑な形の立体は」

…

……。

では、解答です。

【解答例】

円錐の側面積は、

$$ \mbox{割合}= \frac{6 \pi}{18 \pi} = \frac{1}{3} $$

より

\begin{eqnarray} & &9 \times 9 \times \pi \times \frac{1}{3} \\ &=& 27 \pi \end{eqnarray}

（または 側面積＝半径×母線× \(\pi\) より \(3 \times 9 \times \pi = 27 \pi\) ）

半球の表面積は、

\begin{eqnarray} & &4 \pi \times 3 \times 3 \times \frac{1}{2} \\&=& 18 \pi \end{eqnarray}

よって求める表面積は、

\begin{eqnarray} & &27 \pi \ + \ 18 \pi \\&=& 45 \pi \end{eqnarray}

答. \(45 \pi\) ㎠

 

円の面積は含めないことに注意しましょう。

表面積って、表側にある面だけを足すからね。

そこさえ注意すれば、難問ってゆったけど、それほど難しくはないですね。

 

紙コップをころがす問題

【ヒント】

○(紙コップの口の円周)×(コップの回転数)＝(大きな円の円周)となる。

○長い文章題が苦手な人は、表や図をかいて整理するといい。

＊表や図をかいて整理することについては、以下の記事でも解説しています。

• １次方程式文章題⑥【速さ・時間・道のり】
• １次方程式文章題⑧【割合の問題】の「食塩水」

…

……。

では、解答です。

【解答例】

(1) コップ③を転がしたときの円Oの円周は、直径9cmの円が１１回転したものなので

$$ 9 \pi \times 11 = 99 \pi \mbox{(cm)} $$

よって、円Oの半径OAの長さを \(r\) cmとすると、

\begin{eqnarray} 2 \pi r &=& 99 \pi \\ r &=& \frac{99}{2} \end{eqnarray}

答. \(r= \frac{99}{2}\) (49.5)

(2) コップ②を転がしたときの円Oの円周は、直径9cmの円が９回転したものなので

$$ 9 \pi \times 9 = 81 \pi \mbox{(cm)} $$

また弧ASの長さは、直径9cmの円の円周と等しいので、\(9 \pi\) cm。

よって、おうぎ形AOSの割合は

$$ \frac{9 \pi}{81 \pi} = \frac{1}{9} $$

したがって

\begin{eqnarray} \mbox{∠AOS} &=& 360 \mbox{°} \times \frac{1}{9} \\ &=& 40 \mbox{°} \end{eqnarray}

答. 40°

 

最後は表面積とはちょっと違いましたが、この記事の流れから載せてみました。

円とおうぎ形について根っこから理解していれば、このような入試問題も難しくありませんね。

おつかれさまでした。

 

まとめ

○表面積の求め方の基本は展開図をかくこと。

ただし球の表面積は \(4 \pi r^2\) （心配ある事情）という公式を使う。

○展開図をかけば、

• 円柱：「円周の長さ＝長方形の横の長さ」
• 円錐：「円周の長さ＝おうぎ形の弧の長さ」

とわかる。

○円錐の表面積の公式として

• 円錐の側面積＝(半径)×(母線)× \(\pi\)
• 円錐の表面積＝(半径)×(母線＋半径)× \(\pi\)

があるが、頼りすぎないこと。

円とおうぎ形の基本をしっかり理解してはじめて、応用や難問に太刀打ちできる。

 

次回は中１空間図形の最後として、立体の切断問題を解説します。

とくに「立体の切り口がどんな図形になるのかイメージできない」という中学生が多いので、攻略法を解説する予定です。

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