重悟のブログ

歴史・科学・教育のオモしろくてタメになる話。

数学

中学数学「平面図形」のコツ⑤ 円とおうぎ形

投稿日:2020年2月3日 更新日:

中1数学「平面図形」の5回目は、円とおうぎ形です。

ここではとくに、以下のような問題がわからないってなる、その原因と解決法を示します。

例3)半径 \(3\) cm、弧の長さ \(2 \pi\) cmのおうぎ形の中心角を求めよ。

例7)中心角120°、弧の長さ \(8 \pi\) cmのおうぎ形の半径を求めよ。

例10)下の図で、色をつけた部分の面積を求めよ。

つまり

  • おうぎ形の中心角・弧・面積の求め方がわからない
  • おうぎ形の半径の求め方って、どうしたらいいの?
  • 円とおうぎ形の複合図形になるとチンプンカンプン

こうなる中学生へのアドバイスです。

先に結論を言っておきますね、

おうぎ形の公式は覚えなくていいから。

円とおうぎ形の基本

まず、円とおうぎ形の基本を復習します。

なぜなら、おうぎ形の問題でつまずく原因は、基本をちゃんと理解していないことにあるからです。

つまずく原因

  1. 円周率「\(\pi\)」って「\(x\)」などと同じ文字だ、と思ってる
  2. おうぎ形とは何かをよく理解しないまま、ただ公式を丸暗記している

円とおうぎ形の単元でつまずく原因は、この2つです。

つまり、

  1. 関数単元で習った \(x\) や \(y\) などと違って、\(\pi\) ってのはあるひとつの数字を表しているんだ」
  2. 「おうぎ形とは円の一部だから、そこから \(l = 2\pi r \times \frac{a}{360}\) とか \(S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\) とかの公式が出てくるんだな」

っていう理解が、ない。

これが円とおうぎ形問題でつまずく一番の原因なんです。

もし中学生が、
「途中式さ、両辺を \(\pi\) で割っていいの?」
「中心角を求める公式がないんだけど」
などと質問してきたら、そういう生徒はつまずいていることになります。

そこで、以下、円周率 \(\pi\) とは何か?

またおうぎ形とは何か?

きちんと理解していきましょう。

 

円周率 \(\pi\) とは

そもそも円周率とは直径と円周の比率のことです。

つまり

$$ \mbox{円周率} = \frac{\mbox{円周の長さ}}{\mbox{直径の長さ}}$$

で、ようするに、円周の長さって直径の何倍なの?っていう質問の答えのこと

それが、どんな大きさの円であっても「およそ3.14」なんです。

つまり円周の長さって、かならず直径の約3.14倍なんです。

小学校まではこの円周率を「3.14」として計算してきました。

しかし、正確には3.14じゃありません。

円周率ってじつは無限につづく小数なんです。

円周率(小数点以下百桁目まで)
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ……

だから中学生になって、算数から数学になって、もっと正確な計算をしようとしたら、3.14では不十分です。

でも無限につづく小数を答案用紙に書くことはできません。一生かかってもムリ。

じゃどうするかというと、記号で置き換えようと。

それが「\(\pi\) (パイ)」。

ということで、\(\pi\) とは何かというと、3.14159265……と無限につづく小数を書ききれないから代わりに持ってきた記号

そして円周率というひとつの数字を表している定数なのでした。

[参考記事]
比例と反比例② 関数の導入と用語の説明「変数と定数」

 

おうぎ形は円の一部

よって、小学校で習った円の公式は、以下のように言い換えられます。

円周の長さ=(直径)× \(\pi\)
( \(l=2 \pi r \) )

円の面積=(半径)×(半径)× \(\pi\)
( \(S= \pi r^2 \) )

それぞれの下に、記号による公式も書きましたが、覚える必要はありません。

ただ図をみて理解できればOKです。

 

さて。

ここまできたら、次におうぎ形とは何か理解しましょう。

おうぎ形とは円の一部のこと。

ようするに、ピザのひときれのことです。

図では、円の \(\frac{1}{4}\) のおうぎ形を描いてみました。

このおうぎ形の

  • 弧の長さ
  • 面積
  • 中心角

を求めてみましょう。

ポイントは \(\frac{1}{4}\) 」という割合です。

 

公式は覚えなくていい!

問)半径6cmで、円の \(\frac{1}{4}\) のおうぎ形の、弧の長さ・面積・中心角をそれぞれ求めよ。

まず弧の長さ。

おうぎ形って円の一部だから、弧=円周の一部です。

だから(円周)× \(\frac{1}{4}\) をすればいい。

円周の長さは

$$ 6 \times 2 \times \pi = 12 \pi $$

よって、求める弧の長さは

$$ 12 \pi \times \frac{1}{4} = 3 \pi $$

答.\(3 \pi \) cm と出ます。

つぎに面積。

おうぎ形って円の一部だから、おうぎ形の面積=円の面積の一部です。

だから(円の面積)× \(\frac{1}{4}\) をすればいい。

円の面積は

$$ 6 \times 6 \times \pi = 36 \pi $$

よって、求めるおうぎ形の面積は

$$ 36 \pi \times \frac{1}{4} = 9 \pi $$

答.\(9 \pi \) ㎠ と出ます。

最後に中心角。

おうぎ形って円の一部だから、中心角=中心まわり(360°)の一部です。

だから(360°)× \(\frac{1}{4}\) をすればいい。

$$ 360 \times \frac{1}{4} = 90 $$

答.\(90\) ° と出ます。

 

このように、おうぎ形の問題はすべて、まず全体の円を求めてそれに割合をかけてやる。

そうすればどんな応用問題でも解けます。

だから公式を覚える必要はないんです。割合さえ出しちゃえば。

以下では、例題とともに、このことを見ていきましょう。

[参考記事]
中学数学「1次方程式」文章題の解き方⑧【割合の問題】

中学数学「連立方程式」文章題の解き方④【割合の問題】

 

中心角・弧・面積の求め方

おうぎ形における中心角・弧・面積という3点セット。

これらの求め方は今言ったように、

  1. どれか1つから \(\frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}}\) という割合を出す
  2. 円全体を求める
  3. それに割合をかける

という手順です。具体的に見ていきましょー。

中心角から割合を出す

例題1)半径 \(12\) cm、中心角 \(60\) °のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

この例題1は、中心角・弧・面積のうち「中心角 \(60\) °」がわかってます。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{\mbox{60°}}{\mbox{360°}} = \frac{1}{6} $$

また、求めるものは「弧の長さ」なので、まず円全体の円周を出すと

$$ \mbox{(円周)} = 12 \times 2 \times \pi = 24 \pi $$

よっておうぎ形の弧の長さは

$$ 24 \pi \times \frac{1}{6} = 4 \pi $$

答.\(4 \pi\) cm と出ます。

 

例題2)半径 \(5\) cm、中心角 \(144\) °のおうぎ形の面積を求めよ。

例題2も中心角・弧・面積のうち「中心角 \(144\) °」がわかってます。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{\mbox{144°}}{\mbox{360°}} = \frac{2}{5} $$

また、求めるものは「面積」なので、まず円全体の面積を出すと

$$ \mbox{(円の面積)} = 5 \times 5 \times \pi = 25 \pi $$

よっておうぎ形の面積は

$$ 25 \pi \times \frac{2}{5} = 10 \pi $$

答.\(10 \pi\) ㎠ と出ます。

 

弧の長さから割合を出す

例題3)半径 \(3\) cm、弧の長さ \(2 \pi\) cmのおうぎ形の中心角を求めよ。

この例題3は、中心角・弧・面積のうち「弧の長さ \(2 \pi\) cm」がわかってます。

そんで半径 \(3\) cmの円全体の円周は \(3 \times 2 \times \pi = 6 \pi\) (cm)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{2 \pi}{6 \pi} = \frac{1}{3} $$

また、求めるものは「中心角」なので、まず円全体の中心まわりは \(360\) °

よっておうぎ形の中心角は

$$ 360 \times \frac{1}{3} = 120 $$

答.\(120\) ° と出ます。

 

例題4)半径 \(9\) cm、弧の長さ \(12 \pi\) cmのおうぎ形の面積を求めよ。

例題4も中心角・弧・面積のうち「弧の長さ \(12 \pi\) cm」がわかってます。

そんで半径 \(9\) cmの円全体の円周は \(9 \times 2 \times \pi = 18 \pi\) (cm)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{12 \pi}{18 \pi} = \frac{2}{3} $$

また、求めるものは「面積」なので、まず円全体の面積を出すと

$$ \mbox{(円の面積)} = 9 \times 9 \times \pi = 81 \pi $$

よっておうぎ形の面積は

$$ 81 \pi \times \frac{2}{3} = 54 \pi $$

答.\(54 \pi\) ㎠ と出ます。

 

面積から割合を出す

例題5)半径 \(4\) cm、面積 \(2 \pi\) ㎠のおうぎ形の中心角を求めよ。

この例題5は、中心角・弧・面積のうち「面積 \(2 \pi\) ㎠」がわかってます。

そんで半径 \(4\) cmの円全体の面積は \(4 \times 4 \times \pi =16 \pi\) (㎠)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{2 \pi}{16 \pi} = \frac{1}{8} $$

また、求めるものは「中心角」なので、まず円全体の中心まわりは \(360\) °

よっておうぎ形の中心角は

$$ 360 \times \frac{1}{8} = 45 $$

答.\(45\) ° と出ます。

 

例題6)半径 \(10\) cm、面積 \(4 \pi\) ㎠のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

例題4も中心角・弧・面積のうち「面積 \(4 \pi\) ㎠」がわかってます。

そんで半径 \(10\) cmの円全体の面積は \(10 \times 10 \times \pi =100 \pi\) (㎠)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{4 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{25} $$

また、求めるものは「弧の長さ」なので、まず円全体の円周を出すと

$$ \mbox{(円周)} = 10 \times 2 \times \pi = 20 \pi $$

よっておうぎ形の弧の長さは

$$ 20 \pi \times \frac{1}{25} = \frac{4}{5} \pi $$

答.\(\frac{4}{5} \pi\) cm と出ます。

[関連記事]
空間図形④ 表面積の問題のコツ

 

練習問題

以上のように、おうぎ形の問題では、

  1. 中心角・弧・面積のうち、わかっている1つから \(\frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}}\) という割合を出す
  2. 円全体を求める
    ・「中心角を求めよ」なら、まず円全体の中心まわり(=360°)
    ・「弧の長さを求めよ」なら、まず円全体の円周
    ・「面積を求めよ」なら、まず円全体の面積
  3. (円全体)×(割合)をする

これが中心角の求め方・弧の長さの求め方・面積の求め方のすべてです。

公式を覚える必要ないでしょ。

そして公式を丸暗記するより、ちゃんと理解してるから、応用範囲が広いっしょ。

 

では以下、練習問題を解いて、「わかる」を「できる」に変えていってください。

解答は末尾に記載、質問はコメント欄からどうぞ。

問1)次のようなおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。

  1. 半径6cm、中心角30°
  2. 半径5cm、中心角72°
  3. 半径4cm、中心角315°

問2)半径8cm、弧の長さ \(6 \pi\) cmのおうぎ形の中心角を求めよ。

問3)半径10cm、弧の長さ \(5 \pi\) cmのおうぎ形の面積を求めよ。

問4)半径12cm、面積 \(12 \pi\) ㎠のおうぎ形の中心角を求めよ。

問5)半径6cm、面積 \(27 \pi\) ㎠のおうぎ形の弧の長さを求めよ。

1-1:弧の長さ \(\pi\) cm、面積 \(3 \pi\) ㎠
1-2:弧の長さ \(2 \pi\) cm、面積 \(5 \pi\) ㎠
1-3:弧の長さ \(7 \pi\) cm、面積 \(14 \pi\) ㎠
2:135° 3:\(25 \pi\) ㎠ 4:30° 5:\(9 \pi\) cm

次は応用問題として

  • おうぎ形の半径の求め方
  • 円とおうぎ形の複合図形

を解説します。

>次ページ「円とおうぎ形の応用問題」







> 続きを読む 

-数学
-, , , ,


comment

メールアドレスが公開されることはありません。

関連記事

中学数学「平面図形」のコツ② 角の二等分線・垂線を使った作図

前回につづいて、作図のコツです。 今回は「角の二等分線」と「垂線」の応用範囲を整理していきます。 ついでに「正三角形」もやっつけます。 応用範囲はぜんぶで11項目。 これらを頭に入れることで、どんな難 …

中学数学「1次方程式」文章題の解き方⑧【割合の問題】

中1数学 1次方程式の文章題。 8回目は「割合の問題」解き方のコツです。 「定価や利益や割引の計算がわからない」 「食塩水の百分率(パーセンテージ)って苦手」 「去年より○%増えての問題ができない …

中学数学「1次方程式」文章題の解き方⑤【過不足の問題】

中1数学「1次方程式」文章題。 5回目は過不足の問題の解き方について。 過不足問題を解くコツを教えてほしい・・・ 「余る」と「足りない」をどう見分けて式を作ったらいいかわからない・・・ 長椅子の問題の …

中学数学「連立方程式」文章題の解き方③【速さ・時間・道のり問題】

連立方程式の文章題、3回目です。 前回につづき、問題パターン別の解き方のコツを解説します。 今回は速さ・時間・道のり問題。 「速さの文章問題が出てくるとお手上げ」 「難しい問題になった途端できなくなる …

中学数学「多項式」の教え方⑤ 因数分解の応用問題

中3数学「多項式」の5回目。 今回は因数分解の応用問題のやり方を解説します。 応用問題とは、こんなの↓ 例2-1)\( 3x^2 -75 \) 例3-1)\( (x+1)^2 +4(x+1) +3 \ …

カテゴリー



スポンサーリンク


管理人の重悟(ジュウゴ)です。
30代、ライター兼ブロガー兼講師。

西洋史専攻の知識と民間教育経験を基に、
歴史と教育について書いていきます。

科学と数学についてはヘタの横好き。
ラーメンも大好き。
彼女いわく「ちょっと変態」。

重悟という人間がわかる記事はこちら