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中学数学「平面図形」のコツ③ 作図の高校入試問題を解いてみよう

投稿日:2020年1月12日 更新日:

中学数学「平面図形」の作図、3回目です。

前回まで

  • 垂直二等分線
  • 角の二等分線
  • 垂線
  • 正三角形

という4つの基本作図が、どんな定義と特徴をもつのか、確認してきました。

そして、これらの応用範囲16コをぜんぶ見てきました。

今回は以上の知識をもとに、高校入試問題12コにチャレンジします。

「高校入試?わたしまだ中1だよ…」
「問題集でも解き方がわからないのに、ムリだ…」

だいじょうぶ。

1回目と2回目の記事をちゃんと読んでいたら、解けます。

信じてついてきてください。

[中学数学「平面図形」の記事一覧]

  1. 垂直二等分線を使った作図
  2. 角の二等分線、垂線、正三角形を使った作図
  3. 作図の高校入試問題を解いてみよう
  4. 図形の移動
  5. 円とおうぎ形

復習:作図の解き方

そのまえに、作図問題の解き方のコツをちょっと復習しときましょう。

  1. 基本作図の特徴もおさえること
  2. 応用範囲をぜんぶ頭に入れること
  3. まず完成形をイメージすること

この3つがコツでしたね。

1.基本作図の定義と特徴 一覧

具体的には、

○垂直二等分線

  • 【定義】線分を垂直に二等分する直線
  • 【特徴】2点から等しい距離にある点の集まり

 

○角の二等分線

  • 【定義】角を二等分する半直線
  • 【特徴】2直線から等しい距離にある点の集まり

 

○垂線

  • 【定義】垂直な線
  • 【特徴】点と直線の最短距離

 

○正三角形

  • 【定義】3辺が等しい三角形
  • 【特徴】3つの角が等しい(すべて60°)

以上がそれぞれの定義および特徴でした。

いま、ここで、しっかり理解してくださいね。

 

2.各作図の応用範囲 一覧

また、各作図の応用範囲は以下のとおりでした。

○垂直二等分線の応用範囲

  1. 中点(まんなかの点)
  2. 点どうしが重なるときの折り目
  3. 点からの距離が等しい点
  4. 円の中心
  5. 三角形の外接円

 

○角の二等分線の応用範囲

  1. 半分の角度(45°,30°,15°など)
  2. 辺どうしが重なるときの折り目
  3. 線からの距離が等しい点
  4. 2本以上の線に接する円
  5. 三角形の内接円

 

○垂線の応用範囲

  1. 90°(垂直)
  2. 特定の点で線に接する円
    (または特定の点で円に接する線)
  3. 点と直線の最短距離
  4. 最短の折れ線

 

○正三角形の応用範囲

  1. 正六角形
  2. 60°や120°

 

まだ頭に入ってないという中学生は、いま確認して、理解してください。

 

3.完成形をイメージする

そして、作図問題の解き方のコツ。

3つめは完成形をイメージしてから書き方を考えるというものでした。

どんな難問に出合っても、まず問題文を読んで完成形をおおまかにイメージし、この完成形にたどりつくにはどうしたらいいだろう?どの応用範囲を使えばいいだろう?と考える。

これが最後のコツでした。

 

復習は終わり。

いよいよ高校入試問題にチャレンジします。

以下、計12題の過去問それぞれ、

問題→ヒント→解答例

という順で示していくので、ぜひ自分で解いてみてください。

ペンとノート、定規とコンパスの準備はいいですか?

Here we go!
Come on bro!
Put some muscle into it!

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こてしらべ問題

まずはこてしらべとして、3問出題します。

難問というほどではないけれど、応用の部類に入る過去問です。

問題をよく読んで、完成形をイメージしてから、どうぞ。

静岡県 入試問題(2018)

問1)右図において、点Aは辺OX上の点であり、点Bは辺OY上の点である。
∠AOP=∠BOPであり、2点B,P間の距離が最も短くなる点Pを作図しなさい。
ただし、作図には定規とコンパスを使用し、作図に用いた線は残しておくこと。
2018年度 静岡県 公立高校入試問題 2-3

【ヒント】

  • まずは完成形をイメージして書いてみよう
  • ∠AOP=∠BOPってことは?
  • 直線上のBから最短距離にあるのが点P

……

それでは解き方です。

問1解答例

∠AOP=∠BOPなので、まず角の二等分線。

そして直線上のBから最短距離にあるから、垂線を使います。

各作図の定義と特徴、そして応用範囲16コをぜんぶ理解していれば、むずかしくありませんね。

 

山形県 入試問題(2019)

問2)右図のように、△ABCがあり、点Dは辺AB上の点である。
下の【条件】の①、②をともにみたす点Pを、定規とコンパスを使って作図しなさい。
ただし、作図に使った線は残しておくこと。

【条件】
①線分APの長さは、線分ADの長さと等しい。
②点Pは、直線ABと直線BCから等しい距離にあり、△ABCの外部の点である。
2019年度 山形県 公立高校入試問題 2-4

【ヒント】

  • まずは完成形をイメージして書いてみよう
  • AP=ADはコンパスで一発
  • 2直線から等しい距離にあるってことは?

……

それでは解き方です。

問2解答例

AP=ADだから、Aを中心に円を描く。

んで直線ABとBCからの距離が等しいから、∠ABCの二等分線を描きます。

もちろん順番は逆でもOK。

「2直線から等しい距離にある点の集まり」っていう角の二等分線の特徴が、ここで役立ちましたね。

 

奈良県 入試問題(2019)

問3)図1の四角形ABCDは平行四辺形である。
辺AD上に、\(ED= \frac{1}{2}DC\) となる点Eをとり、線分ACと線分BEとの交点をFとする。

点Eを、定規とコンパスを使って図2に作図せよ。
なお、作図に使った線は消さずに残しておくこと。
2019年度 奈良県 公立高校入試問題 4-1改

【ヒント】

  • \(\frac{1}{2}DC\) ってDCの半分の長さ
  • 線分を半分にするには?

……

それでは解き方です。

問3解答例

線分DCの垂直二等分線を描いて、\(\frac{1}{2}DC\) をつくる。

んでそれと同じ長さを辺AD上にもってくればいいですね。

ちなみにこの問題、大問4の(1)だけを抜き出したので、点Fとかは作図に関係ありません。あしからず。

 

以上、こてしらべ問題でした。

不明な点があったらコメント欄からいつでも質問をどうぞ。

つづいて「角度の問題」「円の問題」です。

>次ページ「角度の問題、円の問題」







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管理人の重悟(ジュウゴ)です。
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