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中学数学「空間図形」③ 体積の問題のコツ

投稿日:2020年3月17日 更新日:

中1数学「空間図形」の3回目です。

今回は体積の問題で中学生がつまずきやすいところを解説します。

柱・錐・球それぞれ、入試問題中心に計6例題。

ぜんぶ応用問題ですので、基本を学んだうえで「でも、じっさいのテストになるとできない」って生徒にご参考ください。(とくに例題6の富山入試は難問です)

練習問題もつけたので、ここで紹介するコツをさっそく試す機会としてどうぞ。

では、いざ。

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柱の体積

柱ってのは、底面が垂直に動いてできた立体のこと。

イメージとしては、パンケーキをかさねていったら円柱、サンドイッチをならべていったら三角柱です。

ここから

$$ \mbox{柱の体積} = \mbox{(底面積)} \times \mbox{(高さ)} $$

という公式が生まれます。

こうしたイメージをもとに、応用問題を解いていきましょう。

 

横になってても柱

例題1)下図の立体は、AD=BC=5cm、EH=FG=9cm、DH=CG=3cm、AB=DC=EF=HG=4cmである。体積を求めよ。

例題1のポイントは「この立体が四角柱だ!」と見抜けるかどうか。

つまり台形BFGC(またはAEHD)が底面だとイメージできるかです。

イメージできる人にとっては当たり前ですが、意外とこういう横になってる柱を見落とす中学生が多い。

サンドイッチの例でも言ったように、同じ面がずおおぉーっと伸びていたら、縦でも横でも斜めでも柱です。

「柱って縦に伸びたやつ」と思ってる人は、この機会にイメージを改めてください。

ってことで、解答は以下のとおり。

\begin{eqnarray} & &(5+9) \times 3 \times \frac{1}{2} \times 4 \\ &=& 84 \end{eqnarray}

答.84㎤

なお、底面積だけ先に求めて

\begin{eqnarray} & &(5+9) \times 3 \times \frac{1}{2} = 21 \\ & & 21 \times 4 = 84 \end{eqnarray}

という式でもOKです。

ただジュウゴは式をぜんぶつなげて書くほうをおススメします。

なぜならつなげて書くと計算がラクになる場合があるから(約分できたり、分配法則の逆が使えたり)

このことは高校生になるとより実感するので、中学のうちから身につけておくといいでしょう。

[関連記事]
三角形の面積を求める公式7選。高校数学のまとめにどうぞ

ちなみに例題1には別解があります。

「直方体-三角柱」で出す方法。こちらは

\begin{eqnarray} & & 4 \times 9 \times 3 \ – \ 4 \times 3 \times \frac{1}{2} \\ &=& 108 – 24 \\ &=& 84 \end{eqnarray}

答.84㎤

という求め方になります。

いずれにしても、横になってても柱というポイントを押さえましょう。

 

高さを求める問題

例題2)下の図のように、底面の半径が2cm、体積が24 \(\pi\) ㎤の円柱があります。この円柱の高さを求めなさい。

2019 北海道公立高校入試問題 2-4

この例題2のような高さを求める問題では、自分で方程式をつくって解くというのがポイントです。

つまり、以下のとおり。

求める高さを \(h\) cmとすると、

\begin{eqnarray} 2 \times 2 \times \pi \times h &=& 24 \pi \\ 4 \pi h &=& 24 \pi \\ h &=& 6 \end{eqnarray}

答.6cm

[関連記事]
中学数学「1次方程式」文章題の解き方①【代金、個数】

 

もちろん方程式ではなく、

\begin{eqnarray} & & 2 \times 2 \times \pi = 4 \pi \\ & & 24 \pi \div 4 \pi = 6 \end{eqnarray}

と求めることもできます。

しかし、算数でなく数学ができるようになりたいなら、「未知数を文字でおいて方程式をつくる」という意識を常日頃からもっておくことが大切です。

なぜなら現代日本の中学・高校・大学数学は、和算の伝統じゃなく西欧文明の延長上にあるから。

高さを求める問題を後者の方法でやってる人は、この機会に、つるかめ算的な発想から代数的な発想に切りかえてください

そのほうが高校入試や高校数学につながります。

ま、当ブログの「方程式文章題」記事を読んでる人は問題ないですね。

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練習問題

では、練習問題です。

例題1,2を参考にしながら解いてみてください。

質問はコメント欄からどうぞ。

問題1)下の図1の立体の体積を求めよ。

問題2)下の図2の長方形ABCDを、線分ABを回転の軸として1回転させてできる立体の体積は63 \(\pi\) ㎤だった。線分ABの長さを求めよ。

問1)30㎤
問2)7cm

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中学数学「空間図形」② 位置関係・展開図・回転体のコツ

 

錐の体積

錐ってのは、柱から \( \frac{1}{3}\) だけ削り出してとんがらせた立体。

だから四角柱から \( \frac{1}{3}\) だけ削り出せばピラミッド。円柱から \( \frac{1}{3}\) だけ削り出せばコーンになります。

ここから

$$ \mbox{錐の体積} = \mbox{(柱の体積)} \times \frac{1}{3} $$

つまり

$$ \mbox{錐の体積} = \mbox{(底面積)} \times \mbox{(高さ)} \times \frac{1}{3} $$

という公式が生まれます。

とにかく「錐=とんがった立体」です。

では、応用問題を解いていきましょう。

 

これも三角錐だ!

例題3)下の図の直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=6cm、AD=4cm、AE=4cmのとき、四面体ABCFの体積を求めなさい。

2019 群馬県公立高校入試問題 2-2

例題3のポイントは、「四面体ABCFは三角錐だ!」と気づくかどうか。

つまり、以下3パターンのどれかに気づくかどうかです。

  • 底面が△ABC、高さがBF
  • 底面が△ABF、高さがBC
  • 底面が△BCF、高さがAB

(底面を△ACFにすると高さがわからない)

みなさん、錐って「とんがりがまんなかにくる立体だけ」と思い込んでいませんか?

上から見たとき、とんがりがズレてても、それ錐なんです。

よって例題3の求め方は、たとえば底面を△ABCとみると以下のとおり。

\begin{eqnarray} & & 6 \times 4 \times \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{1}{3} \\ &=& 16 \end{eqnarray}

答.16㎤

ちなみに式をぜんぶつなげて書くと、最後の \(\frac{1}{3}\) が \(6\) と約分できますね。

これも計算がラクになる一例です。

ってことで、例題3のポイントはとんがりがズレてても錐

加えて言えば、三角錐は底面&高さの見方が何パターンもあるってことです。

このパターンの多さから、たとえば「Bから面ACFに垂ろした垂線の長さを求めよ」なんて問題も、入試では頻出します。

時間のある方はやってみてください。
*三平方の定理を使うので中3以上の知識が必要です。ちなみに答えは \(\frac{6 \sqrt{22}}{11}\) cm。

[関連記事]
中学数学「平面図形」のコツ③ 作図の高校入試問題を解いてみよう

 

複雑な形の立体は

例題4)図1は、底面の半径が6cm、高さが4cmの円すいと、底面の半径が6cm、高さが5cmの円柱をあわせた形の立体を表している。この立体の体積を求めよ。

2019 福岡県公立高校入試問題 6-1

例題4のような、複雑な形の立体。

その体積を求めるポイントは、

  • 分けて、たす
  • 大きく求めて、ひく

のどちらかを使うこと。

例題4の場合、問題文を読めば「円錐と円柱の2つに分けて、たす」でいけるとわかりますね。

よって解答は以下のとおり。

\begin{eqnarray} & & 6 \times 6 \times \pi\times 4 \times \frac{1}{3} \ + \ 6 \times 6 \times \pi \times 5 \\ &=& 48 \pi \ + \ 180 \pi \\ &=& 228 \pi \end{eqnarray}

答.228 \(\pi\) ㎤

体積にかぎらず、複雑な図形をやっつけるには

  • 分けて、たす
  • 大きく求めて、ひく

の2通りが使えます。

たとえばグラフ上の三角形の面積を求めるときなど、しょっちゅう使う。ぜひこのコツを覚えて利用してください。

[関連記事]
中学数学「比例と反比例」の教え方⑤ 座標とグラフ

*グラフ上の三角形の面積の求め方は、記事内の「座標の指導案(応用)」の章で解説しています。

 

練習問題

では錐の体積の練習問題です。

問題3は長崎県の公立高校入試問題。2019年度の大問4の1-3をそのまま載せます。

また問題4は回転体の体積問題をつくってみました。

どちらも応用問題ですので、質問があればコメント欄からいつでもどうぞ。

問題3)図1のように三角柱ABCDEFがあり、AB=BC=4cm、AD=8cm、∠ABC=90°である。

  1. 辺ABとねじれの位置にある辺は全部で何本あるか。
  2. 三角柱ABCDEFの体積は何㎤か。
  3. 図2のように、辺BE上に点Pをとる。三角錐ABCPの体積が三角柱ABCDEFの体積の \(\frac{1}{4}\) 倍であるとき、線分BPの長さは何cmか。

問題4)図3の図形を、直線ℓを回転の軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

問3)1.3本 2.64㎤ 3.6cm
問4)360 \(\pi\) ㎤

[関連記事]
中学数学「空間図形」② 位置関係・展開図・回転体のコツ

 

球の体積

最後に、球の体積問題を解説します。

球の体積 \(V\) は

$$ V= \frac{4}{3} \pi r^3 $$

という公式で求まります。

この公式がどうやって出てくるかを説明するには高校数学の積分が必要なんで、中学生はもう覚えてしまいましょう。

覚え方は、よく言われるように、以下のごろ合わせです。

「身の上に、心配あ~る、参上する」

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球の公式の覚え方

ちょっとだけ、どーでもいい小話をします。

あなたが大学生になって、親元を離れ一人暮らしを始めたと想像してください。
たまたまスマホが壊れて、一か月ほど親に連絡しなかったとしましょう。
ある日突然、アパートのドアが開いて、親が訪ねてきます。
「おかーさん!どうしたの?」
「あんた、なんで連絡しないの!」
「スマホが壊れてたんだよ」
「わたしはあなたの身の上が心配で、こうして参上したんだよ
「そっか、わたしの身の上に心配があるので、参上したんだね

以上、球の公式を覚えるための小話でした。

 

例題5)図1のように、高さが6cmで、底面の直径が高さと等しい円柱と、図2のように、半径3cmの球がある。図1の円柱の体積から、図2の球の体積をひいたときの差を求めなさい。

2019 三重県公立高校入試問題 4-1

閑話休題。

球の公式をつかって、例題5を解きましょう。

\begin{eqnarray} & & 3 \times 3 \times \pi \times 6 \ – \ \frac{4}{3} \pi \times 3 \times 3 \times 3 \\&=& 54 \pi \ – \ 36 \pi \\&=& 18 \pi \end{eqnarray}

答.18 \(\pi\) ㎤

かんたんですね。

ちなみに例題5で、円柱と球の体積は

$$ 54 \pi : 36 \pi = 3:2 $$

となってます。

一般に、球の体積は、その球がすっぽり入る円柱の体積の \(\frac{2}{3}\) となります。

ここから

\begin{eqnarray} \mbox{球の体積} &=& \frac{2}{3} \times \mbox{すっぽりな柱の体積} \\ &=& \frac{2}{3} \times \ r \times r \times \pi \times 2r \\&=& \frac{2}{3} \times 2 \pi r^3 \\ &=& \frac{4}{3} \pi r^3 \end{eqnarray}

と、球の公式を出すこともできます。

「身の上に…」を万一忘れてしまった場合にそなえて、覚えておいてもいいでしょう。

 

水を入れる問題は

例題6)図1のように、1辺6cmの立方体の形をした透明な容器を、底面ABCDが水平な台の上に接するように置いてから水を入れた。
ここに図2のように、半径3cmの鉄球を容器の底につくまで静かに入れたところ、水があふれた。
水があふれなくなってから、鉄球を容器から静かに取り出したところ、図3のようになった。
このときの底面ABCDから水面までの高さを求めなさい。
ただし、容器の厚さは考えないものとし、また鉄球を取り出すときに容器内の水の量は変化しないものとする。

2019 富山県公立高校入試問題 5-2

最後に、かなり長いですが、水を入れる問題を考えます。

例題6のような水を入れる問題のポイントは、水って形は変わっても体積は変わらないということです。

つまり例題6でいえば、

$$ \mbox{図2の水の体積} = \mbox{図3の水の体積} $$

そして

$$ \mbox{図2の水の体積} = \mbox{1辺6cmの立方体} \ – \ \mbox{半径3cmの鉄球} $$

で求められる。

水の体積は

\begin{eqnarray} & & 6 \times 6 \times 6 \ – \ \frac{4}{3} \pi \times 3 \times 3 \times 3 \\&=& 216 \ – \ 36 \pi \end{eqnarray}

よって、図3の水の体積も \( 216 – 36 \pi\) (㎤) とわかります。

あとは、例題2でもやった高さを求める問題です。

求める高さを \(h\) cmとすると、

\begin{eqnarray} 6 \times 6 \times h &=& 216 – 36 \pi \\ 36h &=& 216 – 36 \pi \\ h &=& 6 – \pi \end{eqnarray}

答.\(6 – \pi\) (cm) と出ます。

以上のように、水を入れる問題のコツは、形は変わっても体積は変わらないという水の特徴を利用することです。

このコツは

$$ \mbox{水の中に入れた立体の体積} = \mbox{押し出された水の体積} $$

という関係で使う場合もあります。(練習問題6がそう)

 

練習問題

では、最後の練習問題です。

質問はコメント欄からどうぞ。

問題5)下の図1のような図形を、直線ℓを回転軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

問題6)下の図2のように、水の入った直方体の容器があり、底面は水平である。ここに半径6cmの鉄球を入れたときの、水面の高さを求めよ。また水はこぼれるかどうかも答えよ。ただし容器の厚さは考えず、鉄球を入れたとき水の量は変化しないものとする。

問5)\(\frac{128}{3} \pi\) ㎤
問6)\(12+ 2 \pi\) (cm)、こぼれない

[関連記事]
中学数学「空間図形」② 位置関係・展開図・回転体のコツ

 

まとめ

空間図形の体積問題で、とくに気をつけるポイントは以下6点。

  • 横になってても、柱
  • とんがりがズレてても、錐
  • 球の体積の公式は「身の上に 心配あ~る 参上する」

  • 高さを求める問題などでは、求める長さを文字でおいて方程式をつくる
  • 複雑な図形の体積は「分けて、たす」or「大きく求めて、ひく」
  • 水って形は変わっても体積は変わらない

 

以上!

次回は表面積の問題のコツを解説します。

基本となる考え方から、円錐の表面積を深く理解するところまで、ポイントをしぼってお伝えしていきます。

NEXT→中学数学「平面図形」④ 表面積の問題のコツ

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管理人の重悟(ジュウゴ)です。
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