中学数学「比例と反比例」の教え方⑤ 座標とグラフ

数学

座標につづき、「比例のグラフ」と「反比例のグラフ」の指導順・指導項目です。

比例のグラフについて、5段階。

反比例のグラフについて、3段階。

そしてグラフの実践編として、3段階。

それぞれポイントと指導上のコツを記すので、教師や講師、また保護者の方は数学指導の参考にしてください。

>前ページ「座標平面の導入」

比例のグラフ

まず比例のグラフの教え方です。

ここでは「グラフをかく」ことを4段階にわけて十分に練習し、それから「グラフの読み取り」にすすむことが肝要になります。

 

1.表をつくってグラフを描く

表をつくって比例のグラフを描く

【ポイント】

比例のグラフは直線になる。

 

【指導上のコツ】

○まず表をつくるとき、\(x\) の値を式に「代入」して \(y\) を出す、ということを復習する。
→参考:比例の式を求める

○つぎに、\(x\) と \(y\) の値の組を座標とみなして点を打つ、と示す。

○黒→青→オレンジの順で点を打っていく。大切なのは「点が集まって直線になる」イメージ。

○「もちろん \( \left( \frac{1}{10} , \frac{1}{5} \right) \) のように、細かすぎて打ちきれない点もこの直線上にある」等も示すこと。

○あと2~3例、表をつくってグラフを描かせるとよい。たとえば以下のグラフ。

$$ y=-2x \quad y=\frac{1}{2}x $$

 

2.表なしでグラフを描く

表なしで比例のグラフを描く

【ポイント】

\( (x,y)\) の整数の組を頭のなかで計算して、その座標の点を打つ。

 

【指導上のコツ】

○暗算力の劣る生徒には、ひとつひとつ手元指導すること。たとえば↓

  • 「\(x=0\) のときの \(y\) は?」
  • 「\(0\)」
  • 「じゃ \((0,0)\) に点を打って」

○問2が、(比例定数が)分数の場合のやり方だと伝える。

○あと4~5例、点を打つことでグラフを描かせるとよい。たとえば以下のグラフ。

$$ y=\frac{2}{3}x \quad y=\frac{3}{4}x $$

$$ y=-\frac{1}{4}x \quad y=-\frac{5}{2}x $$

 

3.かんたんにグラフを描く方法

比例のグラフをかんたんに描く方法

【ポイント】

$$ y=\frac{\mbox{▲}}{\mbox{●}}x \quad \mbox{のグラフは}$$

  1. 原点スタートで、
  2. 右に●、上に▲ の直線

 

【指導上のコツ】

○以下の指導順を守ること。(生徒に「わかりにくい」と言われる教師はこの順番がメチャクチャだったりする。)

  1. 点を打つことでさまざまなグラフを描く
  2. 比例のグラフの特徴を帰納する
  3. かんたんな描き方があると示す

○比例定数が整数の場合もあえて分数に直すこと。また、マイナスは分子につけること。

○「左に●」とまちがえる生徒がよくいる。「まず右。次に上か下」と強調すること。

○2点だけとって直線をひくと、端のほうでズレる場合も多い。「右に4行って、上に3。右に4行って、上に3…」等と、マス目の最後まで点を取らせること。また左側へも「4もどったら、下に3。4もどったら、下に3…」等と、やはり最後まで点をかきこむように指導する。

 

 

4.変域のあるグラフ

変域のあるグラフ問題

【ポイント】

以下の手順どおりにやるだけ。

  1. まずグラフを描く
  2. \(x\) の変域の両端をかきこむ(=よこ)
  3. \(y\) の値もそれぞれかきこむ(=たて)
  4. グラフの両端に黒丸する
  5. 変域の外側を点線になおす

 

【指導上のコツ】

○グラフの変域問題は中2、中3でも難しがる生徒が多いが、ここで示した手順どおりにやればクリアしていける。

○ \(x\) に対応する \(y\) の値を出すとき、「比例の式に代入して計算」でも出せると示すこと。この一指導をくわえることで、マス目なしのグラフ問題でも解けるようになる。

$$ y=\frac{2}{3} \times (-3) = -2 $$

$$ y=\frac{2}{3} \times 6 = 4 $$

 

5.グラフ→式の読み取り問題

グラフから比例の式を読み取る問題

【ポイント】

直線が点 (●,▲) を通るなら、比例定数 \(a\) は

$$ a= \frac{\mbox{▲}}{\mbox{●}}$$

 

【指導上のコツ】

○比例の比例定数の求め方は \(a=\frac{y}{x}\)
比例の式を求める

○マス目のちょうどいい点(x座標とy座標がともに整数の点)を見つけることさえできれば、むずかしくない。

○なお、「3.かんたんにグラフを描く方法」の逆をつかって、式を求めることもできる↓

グラフから比例の式を読み取るもうひとつの方法

 

この2通りの方法、どちらも生徒に教えること。
前者の方法は、マス目なしの応用問題につながる。
後者の方法は、中2「一次関数」につながるから↓

 

 

 

反比例のグラフ

つぎに反比例のグラフの教え方です。

ここでも比例と同様、「グラフをかく」ことに習熟してから「グラフの読み取り」にすすむことが肝心です。

 

1.表をつくってグラフを描く

表をつくって反比例のグラフを描く

【ポイント】

反比例のグラフは双曲線になる。

 

【指導上のコツ】

○指導の流れは比例のときとほぼ同じ。ちがうのは以下3点。

  • \(x=0\) のとき \(y\) の値はなし。なぜなら \(0\) で割れないから。
  • なめらかな曲線で結ぶこと。折れ線みたいになる生徒が多いので注意。
  • 座標軸にグラフをくっつけてしまう生徒も多いので注意。「かぎりなく近づくけど、くっつかない」と伝える。(漸近線という言葉は高校で習う)

 

2.表なしでグラフを描く

表なしで反比例のグラフを描く

【ポイント】

\( (x,y)\) の整数の組を頭のなかで計算して、その座標の点を打つ。

 

【指導上のコツ】

○暗算力の劣る生徒にはやはり、ひとつひとつ指導すること。たとえば↓

  • 「\(x=1\) のときの \(y\) は?」
  • 「\(6\)」
  • 「じゃ \((1,6)\) に点を打って」

○あと3~4例、反比例のグラフを描かせた後、反比例の式の特徴も伝えること。つまり「原点に関して対称である」と。

反比例のグラフは原点に関して対称

 

 

3.グラフ→式の読み取り問題

グラフから反比例の式を求める問題

【ポイント】

双曲線が点 (●,▲) を通るなら、比例定数 \(a\) は

$$ a= \mbox{●} \times \mbox{▲} $$

 

【指導上のコツ】

○反比例の比例定数の求め方は \(a=xy\)
反比例の式を求める

○マス目のちょうどいい点(x座標とy座標がともに整数の点)を見つけることさえできれば、むずかしくない。

 

 

比例・反比例のグラフ実践編

さいごに、比例・反比例のグラフの実践問題です。

定期テストや模試などでよく出る問題、3種類の、それぞれのポイントを伝えます。

なお、ここから座標平面のマス目がなくなります。

たとえマス目がなくても、最低1点さえあればグラフの式が読み取れることを、最初に生徒には伝えてください。

 

1.座標から式を求める問題

座標から式を求める問題

【ポイント】

直線 ⇔ 比例 \(y=ax\) ⇔ \(a=\frac{y}{x}\)

双曲線 ⇔ 反比例 \(y=\frac{a}{x}\) ⇔ \(a=xy\)

 

【解答】

①直線がA(2,6)を通るから、

$$ a=\frac{6}{2}=3 \quad \mbox{答.}y=3x $$

②双曲線がA(2,6)を通るから、

$$ a= 2 \times 6 =12 \quad \mbox{答.}y=\frac{12}{x} $$

③直線が(6,3)を通るから、

$$ a=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \quad \mbox{答.}y=\frac{1}{2}x $$

④直線が(6,-4)を通るから、

$$ a=\frac{-4}{6}=- \frac{2}{3} \quad \mbox{答.}y=- \frac{2}{3}x $$

⑤双曲線が(6,3)を通るから、

$$ a= 6 \times 3 =18 \quad \mbox{答.}y=\frac{18}{x} $$

⑥双曲線が(6,-4)を通るから、

$$ a= 6 \times (-4) =-24 \quad \mbox{答.}y=- \frac{24}{x} $$

 

 

2.式から座標も求める問題

式からさらに座標も求める問題

【ポイント】

\( (x,y)\) のうち、片方がわかっててもう片方を求めるときは「代入」。

 

【解答 1】

①直線がA(2,4)を通るから、

$$ a=\frac{4}{2}=2 \quad \mbox{答.}y=2x $$

②双曲線がA(2,4)を通るから、

$$ a= 2 \times 4 =8 \quad \mbox{答.}y=\frac{8}{x} $$

B.\(y=2x\) に \(x=-1\) を代入して、

\begin{eqnarray} y &=& 2 \times (-1) \\ y &=& -2 \qquad \mbox{答.}B(-1,-2) \end{eqnarray}

C.\(y=2x\) に \(y=-6\) を代入して、

\begin{eqnarray} -6 &=& 2x \\ 2x &=& -6 \\ x &=& -3 \qquad \mbox{答.}C(-3,-6) \end{eqnarray}

D.\(y=\frac{8}{x}\) に \(x=5\) を代入して、

$$ y = \frac{8}{5} \qquad \mbox{答.}D(5,\frac{8}{5}) $$

 

【解答 2】

問1)\(a=\frac{-6}{3}=-2\)  よって、\(y=-2x\)

\(y=-2x\) に \(x=-5\) 、\(y=b\) を代入して、

\begin{eqnarray} b &=& -2 \times (-5) \\ b &=& 10 \qquad \mbox{答.}a=-2 , b=10 \end{eqnarray}

 

問2)\(a=4 \times 3 =12\)  よって、\(y=\frac{12}{x}\)

\(y=\frac{12}{x}\) に \(x=b\) 、\(y=-2\) を代入して、

\begin{eqnarray} -2 &=& \frac{12}{b} \\ -2b &=& 12 \\ b &=& -6 \qquad \mbox{答.}a=12 , b=-6 \end{eqnarray}

 

3.グラフと三角形の面積

比例と反比例のグラフ:まとめ問題

【ポイント】

いままでの知識をフル活用。

 

【解答】

(1) \(y=\frac{3}{4}x\) に \(y=6\) を代入して、

\begin{eqnarray} 6 &=& \frac{3}{4}x \\ \frac{3}{4}x &=& 6 \\ x &=& 8 \qquad \mbox{答.}A(8,6) \end{eqnarray}

(2) 双曲線がA(8,6) を通るから、

$$ a= 8 \times 6 = 48 $$

(3) \(y=\frac{48}{x}\) に \(x=4\) を代入して、

\begin{eqnarray} y &=& \frac{48}{4} \\ y &=& 12 \qquad \mbox{答.}C(4,12) \end{eqnarray}

(4) 点Bは、点Aと原点に関して対称なので、\( B(-8,-6) \)

答.72㎠

この問題は「比例と反比例」③および「比例と反比例」④で挙げた応用問題です。

 

 

 

まとめ

おつかれさまでした。

中1数学「比例と反比例」における座標・グラフの教え方、まとめます。

 

○座標・グラフでつまずく原因は2つ。

  1. 座標平面を図形的に扱うことに慣れていない
  2. 「グラフは点の集まり」という意識が育ってない

○そこで、座標平面をつかった練習を、以下9段階で行う。
(リンクをクリックすると各項目が開きます)

  1. 導入(座標とは何か)
  2. 座標→点をかき入れる問題
  3. 点→座標を読みとる問題
  4. 対称な点の座標
  5. 座標平面上の三角形の面積①
  6. 座標平面上の三角形の面積②
  7. 点の移動
  8. 平行四辺形
  9. まんなかの点(中点)

○また、比例のグラフを以下5段階にわけて教える。
(リンクをクリックすると各項目が開きます)

  1. 表をつくってグラフを描く
  2. 表なしでグラフを描く
  3. かんたんにグラフを描く方法
  4. 変域のあるグラフ
  5. グラフ→式の読み取り問題

○反比例のグラフも同様に、3段階にわけて教える。
(リンクをクリックすると各項目が開きます)

  1. 表をつくってグラフを描く
  2. 表なしでグラフを描く
  3. グラフ→式の読み取り問題

○こうした順番をふめば、以下3種類の応用問題もできるようになる。
(リンクをクリックすると各項目が開きます)

  1. 座標から式を求める問題
  2. 式から座標も求める問題
  3. グラフと三角形の面積

 

次回は「比例と反比例」の最後、文章問題です。

比例か反比例かを見分けるコツ。

そして文章問題すべてに当てはまる解き方を伝えます。

中学数学「比例と反比例」⑥ 文章問題のコツ(基本・応用)

コメント

  1. サンダー より:

    三角形の面積を求める問題②(x軸、y軸に平行な辺がないバージョン)、
    定期テスト30点の生徒でもできるようになる、
    とはすごいですね。
    自分の経験からすると、
    定期テスト70,80点の生徒でもなかなか厳しいです。
    「指導上のコツ」、参考になりました。

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