中学数学「平面図形」のコツ⑤ 円とおうぎ形

中１数学「平面図形」の５回目は、円とおうぎ形です。

ここではとくに、以下のような問題がわからないってなる、その原因と解決法を示します。

つまり

• おうぎ形の中心角・弧・面積の求め方がわからない
• おうぎ形の半径の求め方って、どうしたらいいの？
• 円とおうぎ形の複合図形になるとチンプンカンプン

こうなる中学生へのアドバイスです。

先に結論を言っておきますね、

おうぎ形の公式は覚えなくていいから。

円とおうぎ形の基本

まず、円とおうぎ形の基本を復習します。

なぜなら、おうぎ形の問題でつまずく原因は、基本をちゃんと理解していないことにあるからです。

つまずく原因

1. 円周率「\(\pi\)」って「\(x\)」などと同じ文字だ、と思ってる
2. おうぎ形とは何かをよく理解しないまま、ただ公式を丸暗記している

円とおうぎ形の単元でつまずく原因は、この２つです。

つまり、

1. 「関数単元で習った \(x\) や \(y\) などと違って、\(\pi\) ってのはあるひとつの数字を表しているんだ」
2. 「おうぎ形とは円の一部だから、そこから \(l = 2\pi r \times \frac{a}{360}\) とか \(S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\) とかの公式が出てくるんだな」

っていう理解が、ない。

これが円とおうぎ形問題でつまずく一番の原因なんです。

もし中学生が、
「途中式さ、両辺を \(\pi\) で割っていいの？」
「中心角を求める公式がないんだけど」
などと質問してきたら、そういう生徒はつまずいていることになります。

そこで、以下、円周率 \(\pi\) とは何か？

またおうぎ形とは何か？

きちんと理解していきましょう。

 

円周率 \(\pi\) とは

そもそも円周率とは直径と円周の比率のことです。

つまり

$$ \mbox{円周率} = \frac{\mbox{円周の長さ}}{\mbox{直径の長さ}}$$

で、ようするに、円周の長さって直径の何倍なの？っていう質問の答えのこと。

それが、どんな大きさの円であっても「およそ3.14」なんです。

つまり円周の長さって、かならず直径の約3.14倍なんです。

小学校まではこの円周率を「3.14」として計算してきました。

しかし、正確には3.14じゃありません。

円周率ってじつは無限につづく小数なんです。

だから中学生になって、算数から数学になって、もっと正確な計算をしようとしたら、3.14では不十分です。

でも無限につづく小数を答案用紙に書くことはできません。一生かかってもムリ。

じゃどうするかというと、記号で置き換えようと。

それが「\(\pi\) (パイ)」。

ということで、\(\pi\) とは何かというと、3.14159265……と無限につづく小数を書ききれないから代わりに持ってきた記号。

そして円周率というひとつの数字を表している定数なのでした。

[参考記事]
比例と反比例② 関数の導入と用語の説明「変数と定数」

 

おうぎ形は円の一部

よって、小学校で習った円の公式は、以下のように言い換えられます。

それぞれの下に、記号による公式も書きましたが、覚える必要はありません。

ただ図をみて理解できればＯＫです。

 

さて。

ここまできたら、次におうぎ形とは何か理解しましょう。

おうぎ形とは円の一部のこと。

ようするに、ピザのひときれのことです。

図では、円の \(\frac{1}{4}\) のおうぎ形を描いてみました。

このおうぎ形の

• 弧の長さ
• 面積
• 中心角

を求めてみましょう。

ポイントは「 \(\frac{1}{4}\) 」という割合です。

 

公式は覚えなくていい！

まず弧の長さ。

おうぎ形って円の一部だから、弧＝円周の一部です。

だから(円周)× \(\frac{1}{4}\) をすればいい。

円周の長さは

$$ 6 \times 2 \times \pi = 12 \pi $$

よって、求める弧の長さは

$$ 12 \pi \times \frac{1}{4} = 3 \pi $$

答．\(3 \pi \) cm と出ます。

つぎに面積。

おうぎ形って円の一部だから、おうぎ形の面積＝円の面積の一部です。

だから(円の面積)× \(\frac{1}{4}\) をすればいい。

円の面積は

$$ 6 \times 6 \times \pi = 36 \pi $$

よって、求めるおうぎ形の面積は

$$ 36 \pi \times \frac{1}{4} = 9 \pi $$

答．\(9 \pi \) ㎠ と出ます。

最後に中心角。

おうぎ形って円の一部だから、中心角＝中心まわり(360°)の一部です。

だから(360°)× \(\frac{1}{4}\) をすればいい。

$$ 360 \times \frac{1}{4} = 90 $$

答．\(90\) ° と出ます。

 

このように、おうぎ形の問題はすべて、まず全体の円を求めてそれに割合をかけてやる。

そうすればどんな応用問題でも解けます。

だから公式を覚える必要はないんです。割合さえ出しちゃえば。

以下では、例題とともに、このことを見ていきましょう。

[参考記事]
・中学数学「１次方程式」文章題の解き方⑧【割合の問題】

・中学数学「連立方程式」文章題の解き方④【割合の問題】

 

中心角・弧・面積の求め方

おうぎ形における中心角・弧・面積という３点セット。

これらの求め方は今言ったように、

1. どれか１つから \(\frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}}\) という割合を出す
2. 円全体を求める
3. それに割合をかける

という手順です。具体的に見ていきましょー。

中心角から割合を出す

この例題１は、中心角・弧・面積のうち「中心角 \(60\) °」がわかってます。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{\mbox{60°}}{\mbox{360°}} = \frac{1}{6} $$

また、求めるものは「弧の長さ」なので、まず円全体の円周を出すと

$$ \mbox{(円周)} = 12 \times 2 \times \pi = 24 \pi $$

よっておうぎ形の弧の長さは

$$ 24 \pi \times \frac{1}{6} = 4 \pi $$

答．\(4 \pi\) cm と出ます。

 

例題２も中心角・弧・面積のうち「中心角 \(144\) °」がわかってます。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{\mbox{144°}}{\mbox{360°}} = \frac{2}{5} $$

また、求めるものは「面積」なので、まず円全体の面積を出すと

$$ \mbox{(円の面積)} = 5 \times 5 \times \pi = 25 \pi $$

よっておうぎ形の面積は

$$ 25 \pi \times \frac{2}{5} = 10 \pi $$

答．\(10 \pi\) ㎠ と出ます。

 

弧の長さから割合を出す

この例題３は、中心角・弧・面積のうち「弧の長さ \(2 \pi\) cm」がわかってます。

そんで半径 \(3\) cmの円全体の円周は \(3 \times 2 \times \pi = 6 \pi\) (cm)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{2 \pi}{6 \pi} = \frac{1}{3} $$

また、求めるものは「中心角」なので、まず円全体の中心まわりは \(360\) °

よっておうぎ形の中心角は

$$ 360 \times \frac{1}{3} = 120 $$

答．\(120\) ° と出ます。

 

例題４も中心角・弧・面積のうち「弧の長さ \(12 \pi\) cm」がわかってます。

そんで半径 \(9\) cmの円全体の円周は \(9 \times 2 \times \pi = 18 \pi\) (cm)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{12 \pi}{18 \pi} = \frac{2}{3} $$

また、求めるものは「面積」なので、まず円全体の面積を出すと

$$ \mbox{(円の面積)} = 9 \times 9 \times \pi = 81 \pi $$

よっておうぎ形の面積は

$$ 81 \pi \times \frac{2}{3} = 54 \pi $$

答．\(54 \pi\) ㎠ と出ます。

 

面積から割合を出す

この例題５は、中心角・弧・面積のうち「面積 \(2 \pi\) ㎠」がわかってます。

そんで半径 \(4\) cmの円全体の面積は \(4 \times 4 \times \pi =16 \pi\) (㎠)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{2 \pi}{16 \pi} = \frac{1}{8} $$

また、求めるものは「中心角」なので、まず円全体の中心まわりは \(360\) °

よっておうぎ形の中心角は

$$ 360 \times \frac{1}{8} = 45 $$

答．\(45\) ° と出ます。

 

例題４も中心角・弧・面積のうち「面積 \(4 \pi\) ㎠」がわかってます。

そんで半径 \(10\) cmの円全体の面積は \(10 \times 10 \times \pi =100 \pi\) (㎠)です。

よって割合は

$$ \frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}} = \frac{4 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{25} $$

また、求めるものは「弧の長さ」なので、まず円全体の円周を出すと

$$ \mbox{(円周)} = 10 \times 2 \times \pi = 20 \pi $$

よっておうぎ形の弧の長さは

$$ 20 \pi \times \frac{1}{25} = \frac{4}{5} \pi $$

答．\(\frac{4}{5} \pi\) cm と出ます。

[関連記事]
空間図形④ 表面積の問題のコツ

 

練習問題

以上のように、おうぎ形の問題では、

1. 中心角・弧・面積のうち、わかっている１つから \(\frac{\mbox{おうぎ形}}{\mbox{円全体}}\) という割合を出す
2. 円全体を求める
   ・「中心角を求めよ」なら、まず円全体の中心まわり(=360°)
   ・「弧の長さを求めよ」なら、まず円全体の円周
   ・「面積を求めよ」なら、まず円全体の面積
3. (円全体)×(割合)をする

これが中心角の求め方・弧の長さの求め方・面積の求め方のすべてです。

公式を覚える必要ないでしょ。

そして公式を丸暗記するより、ちゃんと理解してるから、応用範囲が広いっしょ。

 

では以下、練習問題を解いて、「わかる」を「できる」に変えていってください。

解答は末尾に記載、質問はコメント欄からどうぞ。

次は応用問題として

• おうぎ形の半径の求め方
• 円とおうぎ形の複合図形

を解説します。

＞次ページ「円とおうぎ形の応用問題」