中学数学「比例と反比例」の教え方③　比例の式を求める

中１数学「比例と反比例」の教え方３回目。

今回から比例の式を求める問題、反比例の式を求める問題の教え方です。

 

ここでの最終目標。

それは、以下のような問題が解けることです。

この２問がどちらも解けるなら、比例・反比例の式を求める問題はバッチリです。

もし解けないのなら、解けるようになるためのステップをここで解説します。

 

比例・反比例の式を求める問題ができない、わからない。

つまり比例・反比例の式でつまずく原因は、３つあります。

①比例・反比例の式をおぼえていない

②代入という操作が正しくできない

③ \(a= \frac{y}{x}\) 、\(a=xy\) を知らない

 

①の中学生は、問題を読んで「何をしたらいいのかわからない」となります。

②の中学生は、例題5)が正しくできません。

③の中学生は、例題10)ができず、難関私立入試などで後れをとることになります。

とくに②と③はどちらもできることが、偏差値50以上の高校をねらう場合に重要となります。

 

しかしなぜか、教科書や参考書はじめほとんどの教え方は②と③どちらの原因も取り除くことはしません。

つまり、比例の式の求め方として、

「 \(y=ax\) の式に \(x\) と \(y\) の値を代入すればいい」

「 \(a= \frac{y}{x}\) で比例定数を求めればいい」

このどちらかしか教えないんです。

生徒の混乱を避けるためだと思いますが、これでは片手落ちです。

 

そこでここでは、まず①の原因をとりのぞいて、そのあと②と③どちらもできるような指導を示します。

定期テストで平均以下をとる生徒から、難関私立をめざす生徒まで、幅広くカバーする指導方法となります。

塾講師や家庭教師の方、中学生の保護者の方、どうぞご参考ください。

比例の式を求める

まずは比例の式を求める基本問題から。

ここでは、基本の解き方をおさえつつ、次につながる知識すべてをわかりやすく生徒に落とし込んでいくことが大切です。

 

指導案（前半）

１．前回、\(y= \mbox{（xを使った式）}\) が関数の式だと習った。

そのなかでも、こんな形をした関数の式、

$$ y=2x \qquad y=30x $$

$$ y= -5x \qquad y= \frac{1}{4}x \quad \ldots$$

つまり \(y=ax\) （ \(a\) には数字が入る）の形の関数を比例という。

んで、こういう形の関数式なら、「 \(y\) は \(x\) に比例する」という。

逆に、\(y\) が \(x\) に比例するなら、式の形は「 \(y=ax\) 」ってこと。

（ちなみに \(a\) に入る数字にも名前があって、「比例定数」という。）

[前回の記事→]中学数学「比例と反比例」の教え方②　関数の導入と用語の説明

 

２．では問題を解いてみよう。

例１）\(y\) は \(x\) に比例し、\(x=2\) のとき \(y=-6\) である。\(y\) を \(x\) の式で表せ。

この問題、「 \(y\) を \(x\) の式で表せ」とあるから、答えは関数の式だ。

しかも文の最初に「 \(y\) は \(x\) に比例し」とあるから、答えの形は \(y=ax\) だ。

だから、あとは \(a\) に入る数字さえわかればいい。

じゃあ、どうするか？

ここで「 \(x=2\) のとき \(y=-6\) である」を使う。

\(x\) が2のとき \(y\) が-6ってある。

よって、\(y=ax\) という等式の \(x\) のところに \(2\) を、\(y\) のところに \(-6\) を当てはめればいい。

つまり、\(y=ax\) という等式の \(x\) と \(y\) を、\(2\) と \(-6\) に代えてやる。

ようするに選手交代。

この、文字から数字への選手交代を「代入」といった。

 

３．さて、\(-6=2a\) という等式になった。

（ \(-6=a2\) じゃヘンだから \(a\) と \(2\) は入れ替えてる）

これ、\(a\) の方程式だ。

だから解けばいい。

\begin{eqnarray} -6 &=& 2a \\ 2a &=& -6 \\ a&=& -3 \end{eqnarray}

こうして、\(a\) に入る数字が \(-3\) とわかった。

[参考記事→]中１「１次方程式」でつまずく原因と解決法①　導入

 

４．これで終わりじゃない。

「 \(y\) を \(x\) の式で表せ」と言われてるから、式の形で答えなきゃ。

\(y=ax\) の \(a\) の代わりに \(-3\) を入れて、答えは、

$$ y=-3x $$

 

５．このように、

\(y=ax\) の \(x\) と \(y\) のところに数字を代入して \(a\) を求める。

これが、比例の式を求める問題の基本の解き方。

 

 

指導案（後半）

６．では、例題２と例題３を一緒に解いてみよう。

例２）\(y\) は \(x\) に比例し、\(x=7\) のとき \(y=4\) である。\(y\) を \(x\) の式で表せ。

解）\(y=ax\) に \(x=7\) 、\(y=4\) を代入して

\begin{eqnarray} 4 &=& 7a \\ 7a &=& 4 \\ a&=& \frac{4}{7} \end{eqnarray}

答．\(y= \frac{4}{7}x \)

例３）\(y\) は \(x\) に比例し、\(x=5\) のとき \(y= \frac{10}{3}\) である。\(y\) を \(x\) の式で表せ。

解）\(y=ax\) に \(x=5\) 、\(y=\frac{10}{3}\) を代入して

\begin{eqnarray} \frac{10}{3} &=& 5a \\ 5a &=& \frac{10}{3} \\ a&=& \frac{2}{3} \end{eqnarray}

答．\(y= \frac{2}{3}x \)

 

７．さて、基本の解き方がわかったところで、ひとつ裏ワザを教える。

比例定数 \(a\) をもっとラクに求める裏ワザだ。

どんな裏ワザかというと、ヒントはこれ。

例１）\(x=2\) 、\(y=-6\) ⇒比例定数 \(a= -3\)

例２）\(x=7\) 、\(y=4\) ⇒比例定数 \(a= \frac{4}{7}\)

例３）\(x=5\) 、\(y= \frac{10}{3}\) ⇒比例定数 \(a= \frac{10}{3} \div 5 = \frac{2}{3}\)

気づいた？

$$ a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) $$

これが裏ワザ。

今後、\(y=ax\) の \(a\) を求めるときには、この

$$ a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) $$

を使っていい。

 

８．ここまでをまとめよう。

比例の式を求める問題では、

○　\(y=ax\) の \(x\) と \(y\) に数字を代入して \(a\) を求める。

○　\( a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) \) を使って \(a\) を求める。

この２つの方法があるということ。

 

じゃあ、たくさん問題を解いて「わかる」を「できる」にしていこう。

 

 

注意点

冒頭、比例とは何かを導入したあとに、

「逆に、\(y\) が \(x\) に比例するなら、式の形は『 \(y=ax\) 』ってこと」

この一言を忘れない。

これがひとつめの注意点です。

この一言がないと、論理のステップがひとつ飛んでしまいます。

つまり「 \(y=ax\) 」⇒「 \(y\) は \(x\) に比例する」は言っても、

「 \(y\) は \(x\) に比例する」⇒「 \(y=ax\) 」は言ってないことになる。

（ようするに必要条件だけじゃなく十分条件でもある）。

結果として、問題を解くときに生徒が悩むことになるので、忘れやすいですが注意しましょう。

 

また、例題２、３を一緒に解く際に、

「 \(y=ax\) に \(x=7\) 、\(y=4\) を代入して」

この一文も生徒に書かせること。

これがもうひとつの注意点です。

というのも、どこに何を代入したのか書くクセをつけておかないと、このさき以下のような間違いを犯すからです。

代入という操作が正しくできないとは、このような状態をいいます。

どこに、何を代入するべきか、わからなくなる。

こういうことのないように、最初の一文も書かせましょう。

これは中２の一次関数にも、中３や高１の二次関数にもつながる大切な注意点です。

 

 

 

比例の式を求めてさらに…

次に、比例の式を求める問題の応用です。

ここでは、問題を２つに分けることがコツになります。

 

指導案

１．では、比例の式を求める問題の応用版を解いてみよう。

例４）\(y\) は \(x\) に比例し、\(x=2\) のとき \(y=-8\) である。\(x=-1\) のときの \(y\) の値を求めよ。
（2017栃木県公立高校入試問題）

一見ごちゃごちゃしてるけど、こういう問題もコツをつかめばむずかしくない。

コツは、問題文を前半と後半に分けることだ。

つまり、こういうこと。

例４の前半）\(y\) は \(x\) に比例し、\(x=2\) のとき \(y=-8\) である。（ \(y\) を \(x\) の式で表せ。）

例４の後半）（出てきた式において、） \(x=-1\) のときの \(y\) の値を求めよ。

 

２．例４の前半は、もうできるね。

\(y=ax\) の \(x\) と \(y\) に数字を代入して \(a\) を求めてもいいし、

\( a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) \) を使って \(a\) を求めてもいい。

どっちで解いても、\(y= -4x \) と式が出る。

 

３．式が出たら、つぎは例４の後半だ。

式が出てて、\(x\) も \(-1\) とわかってて、あと \(y\) の値がほしい。

じゃあ \(y=-4x\) っていう式に \(x=-1\) を当てはめればいい。つまり代入だ。

こうして \(y=4\) と答えがでる。

 

４．おなじやり方で、例題５を一緒に解いてみよう。

コツはやっぱり、問題を前半と後半に分けることね。

例５）\(y\) は \(x\) に比例し、\(x=4\) のとき \(y=6\) である。\(y=-3\) のときの \(x\) の値を求めよ。
（2017香川県公立高校入試問題を一部改訂）

解）\(a= \frac{6}{4} =  \frac{3}{2}\)

\(y= \frac{3}{2}x\) に \(y=-3\) を代入して

\begin{eqnarray} -3 &=& \frac{3}{2}x \\ \frac{3}{2}x &=& -3 \\ x&=& -2 \end{eqnarray}

答．\(x= -2\)

後半、注意すべきは、\(y\) がわかってて \(x\) がわからないんだから、式に代入するのは \(y\) の方ってトコ。

それで、\(-3= \frac{3}{2}x\) という \(x\) の方程式を解く。

どっちに代入するのかはまちがえやすい。

だからこそ、「 \(y= \frac{3}{2}x\) に \(y=-3\) を代入して」という言葉は書いておこう。

 

５．これで、応用問題のやり方もわかったね。

まとめよう。

コツは問題文を前半と後半に分けること。

後半は \(x\) か \(y\) のうち、わかってる方を式に代入してもう一方を求める。

じゃ、たくさん問題を解いて「わかる」を「できる」にしていこう。

 

 

注意点

ここでもやはり、

「 \(y= -4x\) に \(x=-1\) を代入して」

「 \(y= \frac{3}{2}x\) に \(y=-3\) を代入して」

こうした一文を書かせること。

これが注意点のひとつです。

理由はやはり、指導案のなかでも言いましたが、どっちに代入するか間違えやすいからです。

 

そしてここでの注意点のもうひとつは、生徒が慣れてきたら、比例定数の求め方は

$$ a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) $$

こっち優先で使うことです。

理由はふたつあって、解答欄がごちゃごちゃするのを避けるため。

そして、こっちの求め方のほうがより早く解けるためです。

これは比例だけでなく、反比例の比例定数の求め方（ \(a=xy\) ）でも同様です。

慣れてきたなら、一発で比例定数を出したほうがいいんです。

 

以上２つの注意点が活きる場面を、ひとつ紹介しましょう。

定期テストや中学生模試、あるいは問題集などでよくみかけるのが、こんな問題です↓

時間がある方はぜひ解いてみてください。

これ、(1)～(3)は基本問題で、(4)のみが難問です。

基本問題において、正確に代入できることがいかに大切か、わかるはずです。

そして比例定数がパッと瞬時に出ないと、(4)をじっくり考える時間が足りなくなることにも、気づくはずです。

だからこその、上記ふたつの注意点なのです。

ちなみに解答は以下のとおり。
(1)A（8,6）  (2) \(a=48\)   (3)Ｃ（4,12）  (4)72㎠

(4)の解き方については「比例と反比例」⑤の記事で解説します。

 

 

まとめ

比例の式を求める問題ができない・わからない理由は３つ。

①比例の式 \(y=ax\) をおぼえていない

②代入という操作が正しくできない

③ \(a= \frac{y}{x}\) を知らない

 

よってまず比例の式をいろいろ示す。

そして、\(y\) が \(x\) に比例するなら式の形は「 \(y=ax\) 」だとも付け加える。

 

こうした基本問題を解く方法は２つ。

① \(y=ax\) の \(x\) と \(y\) のところに数字を代入して \(a\) を求める。

② \( a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) \) を使って \(a\) を求める。

方法①を使う際には「…に～を代入して」という一文を書かせること。

 

こうした応用問題では、問題を前半と後半に分けることがコツ。

後半ではやはり、「…に～を代入して」という一文を書かせること。

そして前半では \( a= \frac{y}{x} \quad ( y \div x ) \) を使って、パッと解くように指導していくこと。

 

 

次回は反比例の式を求める問題の指導方法です。

反比例も、比例とほぼ同じ教え方になりますが、比例定数のカンタンな求め方 \(a=xy\) がより重要になってきます。

なぜならこの記事の冒頭で示した例題10、

このような問題が、代入の方法では解けなくなるからです。

→中学数学「比例と反比例」の教え方④　反比例の式を求める