中学数学「空間図形」⑤ 立体の切断問題のコツ

つづいて、切断された立体の体積の求め方を解説します。

＜前ページ：切り口の図形

切断された立体の体積

複雑な図形を攻略するコツは、このブログでずっと言っているとおり、以下２つのどっちかを使うことです。

• 分けて、たす
• 大きく求めて、ひく

 

ななめに切断した立体

たとえばこんな、円柱をななめに切断した立体の体積を求めてみましょう。

まず「分けて、たす」方法なら、どこで分けるか？

そう、上下に分けたらいいですね。

よって求め方は以下のとおり。

\begin{eqnarray} & & \mbox{(直径6cm、高さ4cmの円柱)} \ + \ \mbox{(直径6cm、高さ5cmの円柱の半分)} \\ &=&  3 \times 3 \times \pi \times 4 \ + \ 3 \times 3 \times \pi \times 5 \times \frac{1}{2} \\ &=& 36 \pi \ + \ \frac{45}{2} \pi \\ &=& \frac{117}{2} \pi \end{eqnarray}

後半は円柱の半分なので、\( \times \frac{1}{2}\) するのを忘れないように。

また「大きく求めて、ひく」方法なら？

そう、大きな円柱を求めて、そこから上の円柱の半分を引けばいいですね。

よって求め方は以下のとおり。

\begin{eqnarray} & & \mbox{(直径6cm、高さ9cmの円柱)} \ – \ \mbox{(直径6cm、高さ5cmの円柱の半分)} \\ &=&  3 \times 3 \times \pi \times 9 \ – \ 3 \times 3 \times \pi \times 5 \times \frac{1}{2} \\ &=& 81 \pi \ – \ \frac{45}{2} \pi \\ &=& \frac{117}{2} \pi \end{eqnarray}

いずれにしても答えは \(\frac{117}{2} \pi \) ㎤と出ます。

このように、切断されて複雑になった立体の体積を求めるには、

• 分けて、たす
• 大きく求めて、ひく

のどっちかを使う。

そうすれば、入試問題のような難問でも解いていくことができます。

[その他の複雑な図形の記事]

• 比例と反比例⑤ 座標とグラフ「座標平面上の三角形の面積②」
• 平面図形⑤ 円とおうぎ形「円とおうぎ形の複合図形」
• 空間図形③ 体積「複雑な形の立体は」
• 空間図形④ 表面積「組み合わせた立体の表面積」

 

徳島県入試問題から

では力試しとして、2019年度の徳島県公立高校入試問題を解いてみましょう。

問題文が長すぎてイヤになる？

ようするに、この立体の体積を求めよって言ってます↓

この立体Xは三角柱でもないですね。名前のない複雑な立体です。

よって「分けて、たす」か「大きく求めて、ひく」を使います。

どっちがいいか、いろいろと試行錯誤してみてください。

そうしたらやがて気づくでしょう、「大きく求めて、ひく」を２回使えばいいんだと。

この求め方に気づけば、あとは計算するだけです。

わかりやすいように分けて書くと、

\begin{eqnarray} \mbox{三角柱ABCDEF} &=& 10 \times 10 \times \frac{1}{2} \times 10 \\ &=& 500 \ \mbox{…㋐} \\ \mbox{三角錐PDEF} &=& 10 \times 10 \times \frac{1}{2} \times 20 \times \frac{1}{3} \\ &=& \frac{1000}{3} \ \mbox{…㋑} \\ \mbox{三角錐PAQR} &=& 5 \times 5 \times \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{1}{3} \\ &=& \frac{125}{3} \ \mbox{…㋒} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{よって、立体X} &=& \mbox{㋐ー(㋑ー㋒)} \\ &=& 500 \ – \ \left( \frac{1000}{3} – \frac{125}{3} \right) \\ &=& 500 \ – \ \frac{875}{3} \\ &=& \frac{625}{3} \end{eqnarray}

答．\( \frac{625}{3} \) ㎤

このように、「分けてたす」「大きく求めてひく」で一発で求まらない場合は、さらに図形を分割して考える。

これが、徳島入試のような難問を解くコツです。

 

石川県入試問題から

では、力試しをもう１問。

例題７は、昨年度の石川県公立高校入試の最終問題です。

図３の立体、どのようにしたら求まるでしょうか？

…。

そう、「分けてたす」方法でいけますね。

解答は以下のとおり。

\begin{eqnarray} \mbox{四角錐} &=& (2+3) \times 3 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{3} \\ &=& \frac{5}{2} \\ \mbox{三角柱} &=& 3 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 1 \\ &=& \frac{3}{2} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{よって、図３の立体} &=& \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \\ &=& 4 \end{eqnarray}

答．4㎤

以上のように、「分けてたす」「大きく求めてひく」を使いこなせれば、入試問題の難問にも太刀打ちできるのです。

 

練習問題

ここまで、切断された立体の体積を求めてきました。

とくに入試問題を２つ解いてみて、こう思った方もいるでしょう。

「分けてたす」と「大きく求めてひく」、どっちを使うかの判断ができない、と。

もっともな疑問です。

そして判断する方法というのもあります。

しかしそれを書き出すとひじょーに長くなるのでここでは伝えません。

数学は習うより慣れろ。

ここで伝えたコツを土台にして、あとは100問くらい解かせてください。

そうすればおのずとポイントが身につきます。

そして、人から教わるんじゃなくそうやって自分で身につけた解法は絶対に忘れない。

だから生徒にはたくさん練習問題を解かせましょう。

ここでは３問しか載せられませんが、ぜひ参考書や問題集などを使って「わかる」から「できる」へ生徒を導いていただきたいと思います。

 

まとめ

切り口の図形をかくコツは、以下３つのルールに沿って描いていくこと。

1. 同じ面上の２点は結ぶ
2. 平行な面の切り口は平行になる
3. 面を延ばす

切断された立体の体積を求めるには、以下２つのどっちかを使うこと。

• 分けて、たす
• 大きく求めて、ひく

以上！

 

さて、次回からは中１数学さいごの単元「データの活用」をお届けします。

→