中学数学「多項式」の教え方③ 展開の応用問題

中３数学「多項式」の３回目。

今回は乗法公式を使った、複雑な式の展開を解説します。

複雑な式の展開で出てくるのは

さらにカッコを外す問題
置き換えを使う問題

という２つ。

つまりこんなのです↓

$$ \mbox{例2-3）} \ 9(x+1)^2 -5(x-2)(x+7) $$

$$ \mbox{例3-4）} \ (a-b+c)(a-b-c) $$

こういう応用問題をどうやったらスムーズにできるようになるのか。

コツをお伝えしていきますね。

≪「多項式」の記事一覧≫

乗法公式の復習
1. 指導例：乗法公式の判断
2. 練習問題
さらにカッコを外す問題
置き換えを使う問題
置き換えを使う問題（発展編）
まとめ

乗法公式の復習

複雑な式の展開ができるためにはまず、前回も書いたとおり、乗法公式を使ってパッと解けるようになっている。

そんな状態が必要です。

そのうえでさらに、どの公式を使うかの判断も瞬時にできなくてはいけません。

よって複雑な式の展開に入る前に、乗法公式３つをおさらいするといいでしょう。

指導例：乗法公式の判断

例題１）次の式を展開しなさい。

$ (x-7)(x-3) $
$ (2x-5)^2 $
$ (4x+y)(4x-y) $

じゃ、応用問題に入る前に、乗法公式３つをまとめて復習しよう。

例題１を自力で解いてごらん。

$ (x-7)(x-3) =x^2 -10x+21 $
$ (2x-5)^2 = 4x^2 -20x+25 $
$ (4x+y)(4x-y) = 16x^2 -y^2 $

よくできた！

いちおう、使い方をもういちど確認しておくよ。

◎カッコ内の前だけそろっているとき
→≪乗法公式１≫
($\mbox{○}$＋■）($\mbox{○}$＋▲)＝ $\mbox{○}^2$ ＋(■＋▲)$\mbox{○}$ ＋■▲
$ (x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x +ab $

◎カッコに二乗があるとき
→≪乗法公式２≫
(■+▲)$^2$ = ■$^2$ +2■▲ +▲$^2$
$ (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2 $

◎同符号どうしと異符号どうしが１ペアずつあるとき
→≪乗法公式３≫
(■+▲)(■-▲) = ■$^2$ – ▲$^2$
$ (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 $

では、この３種類の式をランダムに出題します。

下の練習問題を解いて、どの公式を使うかの判断がパッとできるようになろう。

そんで展開の応用問題に入っていこう。

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練習問題

この復習部分は、前回の記事をしっかり読んで実践していれば瞬時に解けるはずです。

仮に「わからない・できない」となる場合は前回の記事（多項式② 乗法公式）を実践ください。

では、ならびをランダムにした練習問題をどうぞ。

この20問で「たびたび手が止まる」という中学生は問題集などでさらに練習してください。

○練習問題7

○練習問題7の解答

さらにカッコを外す問題

さて、いよいよ展開の応用問題その１。

「さらにカッコを外す問題」です。

ここでのコツは、前になんか付いてたら公式を使ったあともカッコを残すことです。

指導例：やってみせ、説明

準備が整ったので、複雑な展開問題に入ろう。

例題２）次の式を展開しなさい。

$ 3(x+2)(x-2) $
$ (x+6)(x-8)-(x-4)^2 $
$ 9(x+1)^2 -5(x-2)(x+7) $

例題2-1は、$ (x+2)(x-2) $ の前に $3$ が付いてるね。
例題2-2は、$ (x-4)^2 $ の前にマイナスつまり $-1$ がある。
例題2-3は、$9$ と $-5$ がそれぞれくっ付いてる。

どうやればいいか？

やってみせるからよく見てて。

\begin{eqnarray} \mbox{例2-1）} & & 3(x+2)(x-2) \\ &=& 3(x^2 -4) \\ &=& 3x^2 -12 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例2-2）} & & (x+6)(x-8)-(x-4)^2 \\ &=& x^2 -2x-48 -(x^2 -8x+16) \\ &=& x^2 -2x-48 -x^2 +8x -16 \\ &=& 6x-64 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例2-3）} & & 9(x+1)^2 -5(x-2)(x+7) \\ &=& 9(x^2 +2x+1) -5(x^2 +5x-14) \\ &=& 9x^2 +18x+9 -5x^2 -25x+70 \\ &=& 4x^2 -7x+79 \end{eqnarray}

つまり、前になんか付いてたら乗法公式を使ったあともカッコを残すんだ。

そんでさらに分配法則でカッコを外す。

こうやって一歩一歩やっていけば、複雑な式でも展開できる。

まちがってもノートの余白に別に計算書いて、一行で済ませようとしたりするなよ。

じゃ、この解答例を写して。

指導例：させてみて、ほめる

それでは、一緒に類題を解いてみよう。

類題２）次の式を展開しなさい。

$ -6(x-3)^2 $
$ (x+1)(x-1)+2(x+5)(x-4) $
$ 7(x+2y)(x+3y) -8(3x-2y)(3x+2y) $

\begin{eqnarray} \mbox{類2-1）} & & -6(x-3)^2 \\ &=& -6(x^2 -6x+9) \\ &=& -6x^2 +36x-54 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{類2-2）} & & (x+1)(x-1)+2(x+5)(x-4) \\ &=& x^2 -1 +2(x^2 +x-20) \\ &=& x^2 -1 +2x^2 +2x-40 \\ &=& 3x^2 +2x-41 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{類2-3）} & & 7(x+2y)(x+3y) -8(3x-2y)(3x+2y) \\ &=& 7(x^2 +5xy +6y^2) -8(9x^2 -4y^2) \\ &=& 7x^2 +35xy +42y^2 -72x^2 +32y^2 \\ &=& -65x^2 +35xy +74y^2 \end{eqnarray}

よくできた！

類題2-2で、$x^2 -1$ という計算しない部分も３行目にそのまま書いているのがいいね。

計算ミスが少なくなるからね。

練習問題

以上が「さらにカッコを外す問題」の指導例です。

みてわかるとおり、問題の形を確認したあと、

やってみせ
言って聞かせて
させてみて
ほめる

という流れを使っています。

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指導者のひとりとして、いつも参考にさせてもらってます。

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では、練習問題をまた用意しました。

書き写したりプリントアウトしてご利用ください。

○練習問題8

○練習問題8の解答

置き換えを使う問題

次に「置き換えを使う問題」を解説します。

ここでのコツは、共通部分を見つけたら大文字で置き換えることです。

指導例：やってみせ、説明

もうひとつ、複雑な式の展開をやってみよう。

例題３）次の式を展開しなさい。

$ (a+b)(a+b+c) $
$ (a-b+3)(a-b+4) $
$ (a+b+2)^2 $
$ (a-b+c)(a-b-c) $

この問題、一見すると乗法公式が使えそうにはない。

なので公式を使わずにかけてかけて…と展開してもいいけど、めんどくさいよね。

そこでちょっとした工夫をする。

例題３の式をよく見ると、カッコ内の
3-1： $a+b$ が共通
3-2： $a-b$ が共通…
ってなってる。

そこで、共通部分を大文字で置き換えてこんなふうに展開できるんだ↓

\begin{eqnarray} \mbox{例3-1）} & & (a+b)(a+b+c) \\ & & a+b=M\mbox{と置くと} \\ &=& M(M+c) \\ &=& M^2 +Mc \\ &=& (a+b)^2 +(a+b)c \\ &=& a^2 +2ab+b^2 +ac+bc \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例3-2）} & & (a-b+3)(a-b+4) \\ & & a-b=M\mbox{と置くと} \\ &=& (M+3)(M+4) \\ &=& M^2 +7M+12 \\ &=& (a-b)^2 +7(a-b) +12 \\ &=& a^2 -2ab+b^2 +7a-7b+12 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例3-3）} & & (a+b+2)^2 \\ & & a+b=M\mbox{と置くと} \\ &=& (M+2)^2 \\ &=& M^2 +4M+4 \\ &=& (a+b)^2 +4(a+b) +4 \\ &=& a^2 +2ab+b^2 +4a+4b+4 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例3-4）} & & (a-b+c)(a-b-c) \\ & & a-b=M\mbox{と置くと} \\ &=& (M+c)(M-c) \\ &=& M^2 -c^2 \\ &=& (a-b)^2 -c^2 \\ &=& a^2 -2ab+b^2 -c^2 \end{eqnarray}

つまり、共通部分を見つけたら大文字で置き換えて展開する。

それから大文字を元に戻して、さらに展開するんだ。

もちろん、使う大文字は $M$ でも $A$ でもなんでもいい。

また例題3-3は $b+2=M$ と置いて

\begin{eqnarray} \mbox{例3-3）} &=& (a+M)^2 \\ &=& a^2 +2aM+M^2 \\ &=& a^2 +2a(b+2) +(b+2)^2 \\ &=& a^2 +2ab+4a +b^2 +4b+4 \end{eqnarray}

とやってもいい。
項の順番はちがうけど答えは同じだね。

理解したら例題３の解答を書き写して。

指導例：させてみて、ほめる

では、類題を一緒にやってみよう。

注意点としては、大文字を元に戻すときカッコを付けるのを忘れないこと。

類題３）次の式を展開しなさい。

$ (x+y)(x+y-5) $
$ (x-2y-6)(x-2y+4) $
$ (-2x+y-3)(2x+y-3) $

\begin{eqnarray} \mbox{類3-1）} & & (x+y)(x+y-5) \\ & & x+y=M\mbox{と置くと} \\ &=& M(M-5) \\ &=& M^2 -5M \\ &=& (x+y)^2 -5(x+y) \\ &=& x^2 +2xy+y^2 -5x-5y \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{類3-2）} & & (x-2y-6)(x-2y+4) \\ & & x-2y=M\mbox{と置くと} \\ &=& (M-6)(M+4) \\ &=& M^2 -2M-24 \\ &=& (x-2y)^2 -2(x-2y)-24 \\ &=& x^2 -4xy+4y^2 -2x+4y-24 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{類3-3）} & & (-2x+y-3)(2x+y-3) \\ & & y-3=M\mbox{と置くと} \\ &=& (-2x+M)(2x+M) \\ &=& -4x^2 +M^2 \\ &=& -4x^2 +(y-3)^2 \\ &=& -4x^2 +y^2 -6y+9 \end{eqnarray}

よくできた！

ちゃんと大文字を元に戻すときカッコつけてたね。

それに、「$x+y=M$と置くと」などの日本語もしっかり書けた。

式が長くなるときには「いまこんな計算をしましたよ」という説明があると、読む人にわかりやすい（中２の連立方程式単元でもやったね）。

読む人にとってわかりやすい回答を書く。

この姿勢、これからも大事にして。

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練習問題

以上が共通部分を大文字で置き換える問題です。

中学生に教えるさいの注意点としては、上で書いたほかにあと１つ。

最初に「かけてかけて…で展開できる」というセリフを忘れないことです。

このセリフがあることで中学生は、べつに置き換えなくてもふつうに展開できるんだ、と安心できます。

展開の場合、この置き換えというのは計算をちょっと早くするための工夫にすぎません。

テストや入試で緊張して「どうやって置き換えるかわからない」ってなったときは、ふつうに６回でも９回でもかけてかけて…とやればいい。

そのことも併せて伝えてあげてください。

[関連記事]
中学数学「多項式」の教え方① 展開の基本

なお、因数分解の場合は、置き換えをしないと解けない問題があります。
→「多項式」⑤ 因数分解の応用問題を参照

だから置き換えに慣れるという意味でも、ここ、飛ばさずに学習はさせましょう。

では、置き換えの練習問題をどうぞ。

○練習問題9

○練習問題9の解答

置き換えを使う問題（発展編）

さいごに、置き換えの発展問題を紹介します。

ここは一部高校数学ともカブりますが、進学校をめざす中３ならできるようになってほしい問題です。

指導例：順番を入れ替える

ではついでに、置き換えの発展問題。

例題４）次の式を展開しなさい。

$ (a+c)(a+b+c) $
$ (a-b+c)(a+b+c) $

この問題、項ごとに共通部分を探すと、
例4-1：$a$ と $+c$
例4-2：$a$ と $+c$

よって以下のようにやる。

\begin{eqnarray} \mbox{例4-1）} & & (a+c)(a+b+c) \\ &=& (a+c)(a+c+b) \\ & & a+c=M\mbox{と置くと} \\ &=& M(M+b) \\ &=& M^2 +Mb \\ &=& (a+c)^2 +(a+c)b \\ &=& a^2 +2ac+c^2 +ab+bc \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例4-2）} & & (a-b+c)(a+b+c) \\ &=& (a+c-b)(a+c+b) \\ & & a+c=M\mbox{と置くと} \\ &=& (M-b)(M+b) \\ &=& M^2 -b^2 \\ &=& (a+c)^2 -b^2 \\ &=& a^2 +2ac+c^2 -b^2 \end{eqnarray}

このように、項ごとに共通部分を探して「あいだが飛んでるな」とわかったら、カッコ内の順番を入れ替えて共通部分をそろえるんだ。

理解したら、例題４をもういちどやってみて。

指導例：マイナスでくくる

もうひとつ、発展問題。

例題５）次の式を展開しなさい。

$ (a+b+c)(a-b-c) $
$ (a+b-c)(a-b+c) $

例5-1は、共通部分は $a$ だけで、
$+b$ と $-b$ ／ $+c$ と $-c$
というように符号が逆だね。

例5-2も、共通部分は $a$ だけで、
$+b$ と $-b$ ／ $-c$ と $+c$
というように符号が逆だね。

しかし、以下のように小カッコでくくったらどうだろう？

右辺の小カッコを展開したら左辺にもどるから、この式変形ができる。

んでこんな式変形すると、共通部分が出てきたでしょ。

よって例題５の解答は以下のとおり。

\begin{eqnarray} \mbox{例5-1）} & & (a+b+c)(a-b-c) \\ &=& \{ a+(b+c)\} \{a-(b+c)\} \\ & & b+c=M\mbox{と置くと} \\ &=& (a+M)(a-M) \\ &=& a^2 -M^2 \\ &=& a^2 -(b+c)^2 \\ &=& a^2 -(b^2 +2bc+c^2) \\ &=& a^2 -b^2 -2bc-c^2 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例5-2）} & & (a+b-c)(a-b+c) \\ &=& \{a+(b-c)\} \{a-(b-c)\} \\ & & b-c=M\mbox{と置くと} \\ &=& (a+M)(a-M) \\ &=& a^2 -M^2 \\ &=& a^2 -(b-c)^2 \\ &=& a^2 -(b^2 -2bc+c^2) \\ &=& a^2 -b^2 +2bc-c^2 \end{eqnarray}

このように、カッコ内の後半をさらに小カッコでくくると共通部分が出てくることもある。

とくにマイナスでくくると

$$ -b-c = -(b+c) $$

$$ -b+c = -(b-c) $$

となるってところがポイントだ。

よく見て理解したら、今度は自力で例題５をやってみて。