中学数学「平面図形」のコツ③ 作図の高校入試問題を解いてみよう

中学数学「平面図形」の作図、３回目です。

前回まで

• 垂直二等分線
• 角の二等分線
• 垂線
• 正三角形

という４つの基本作図が、どんな定義と特徴をもつのか、確認してきました。

そして、これらの応用範囲16コをぜんぶ見てきました。

今回は以上の知識をもとに、高校入試問題12コにチャレンジします。

「高校入試？わたしまだ中１だよ…」
「問題集でも解き方がわからないのに、ムリだ…」

だいじょうぶ。

１回目と２回目の記事をちゃんと読んでいたら、解けます。

信じてついてきてください。

復習：作図の解き方

そのまえに、作図問題の解き方のコツをちょっと復習しときましょう。

1. 基本作図の特徴もおさえること
2. 応用範囲をぜんぶ頭に入れること
3. まず完成形をイメージすること

この３つがコツでしたね。

1.基本作図の定義と特徴 一覧

具体的には、

○垂直二等分線

• 【定義】線分を垂直に二等分する直線
• 【特徴】２点から等しい距離にある点の集まり

 

○角の二等分線

• 【定義】角を二等分する半直線
• 【特徴】２直線から等しい距離にある点の集まり

 

○垂線

• 【定義】垂直な線
• 【特徴】点と直線の最短距離

 

○正三角形

• 【定義】３辺が等しい三角形
• 【特徴】３つの角が等しい（すべて60°）

以上がそれぞれの定義および特徴でした。

いま、ここで、しっかり理解してくださいね。

 

2.各作図の応用範囲 一覧

また、各作図の応用範囲は以下のとおりでした。

○垂直二等分線の応用範囲

1. 中点（まんなかの点）
2. 点どうしが重なるときの折り目
3. 点からの距離が等しい点
4. 円の中心
5. 三角形の外接円

 

○角の二等分線の応用範囲

1. 半分の角度（45°,30°,15°など）
2. 辺どうしが重なるときの折り目
3. 線からの距離が等しい点
4. ２本以上の線に接する円
5. 三角形の内接円

 

○垂線の応用範囲

1. 90°（垂直）
2. 特定の点で線に接する円
   （または特定の点で円に接する線）
3. 点と直線の最短距離
4. 最短の折れ線

 

○正三角形の応用範囲

1. 正六角形
2. 60°や120°

 

まだ頭に入ってないという中学生は、いま確認して、理解してください。

 

3.完成形をイメージする

そして、作図問題の解き方のコツ。

３つめは完成形をイメージしてから書き方を考えるというものでした。

どんな難問に出合っても、まず問題文を読んで完成形をおおまかにイメージし、この完成形にたどりつくにはどうしたらいいだろう？どの応用範囲を使えばいいだろう？と考える。

これが最後のコツでした。

 

復習は終わり。

いよいよ高校入試問題にチャレンジします。

以下、計12題の過去問それぞれ、

問題→ヒント→解答例

という順で示していくので、ぜひ自分で解いてみてください。

ペンとノート、定規とコンパスの準備はいいですか？

Here we go!
Come on bro!
Put some muscle into it!

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こてしらべ問題

まずはこてしらべとして、３問出題します。

難問というほどではないけれど、応用の部類に入る過去問です。

問題をよく読んで、完成形をイメージしてから、どうぞ。

静岡県 入試問題(2018)

【ヒント】

• まずは完成形をイメージして書いてみよう
• ∠AOP=∠BOPってことは？
• 直線上のＢから最短距離にあるのが点Ｐ

…

……

それでは解き方です。

 

∠AOP=∠BOPなので、まず角の二等分線。

そして直線上のＢから最短距離にあるから、垂線を使います。

各作図の定義と特徴、そして応用範囲16コをぜんぶ理解していれば、むずかしくありませんね。

 

山形県 入試問題(2019)

【ヒント】

• まずは完成形をイメージして書いてみよう
• AP=ADはコンパスで一発
• ２直線から等しい距離にあるってことは？

…

……

それでは解き方です。

AP=ADだから、Ａを中心に円を描く。

んで直線ABとBCからの距離が等しいから、∠ABCの二等分線を描きます。

もちろん順番は逆でもＯＫ。

「２直線から等しい距離にある点の集まり」っていう角の二等分線の特徴が、ここで役立ちましたね。

 

奈良県 入試問題(2019)

【ヒント】

• \(\frac{1}{2}DC\) ってDCの半分の長さ
• 線分を半分にするには？

…

……

それでは解き方です。

線分DCの垂直二等分線を描いて、\(\frac{1}{2}DC\) をつくる。

んでそれと同じ長さを辺AD上にもってくればいいですね。

ちなみにこの問題、大問４の(1)だけを抜き出したので、点Fとかは作図に関係ありません。あしからず。

 

以上、こてしらべ問題でした。

不明な点があったらコメント欄からいつでも質問をどうぞ。

つづいて「角度の問題」「円の問題」です。

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