中学数学「平方根」のコツ④ 有理化/加減乗除/展開

中学数学

中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。

中3「平方根」の4回目は、ルートの計算ぜんぶを一気に解説します。

つまり

  • 分母の有理化
  • ルートをふくむ式の乗除
  • ルートをふくむ式の加減
  • ルートをふくむ式の展開

という4つ。

それぞれの計算のやり方とともに、注意点を伝えていきます。

そして、ルートの計算ぜんぶに共通するコツ。それはルートを簡単にしてから計算したほうがラクってこと。

以下、具体的に見ていきましょう。

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分母の有理化

分母の有理化とは、分母からルート(√)をなくすことです。

やり方は、上下に同じ数をかけるだけ。

有理化のやり方

例題1)次の数の分母を有理化せよ。

$$ \mbox{(1)} \ \frac{2}{\sqrt{3}} \qquad \mbox{(2)} \ \frac{\sqrt{6}}{4 \sqrt{5}} $$

じっさいにやってみせましょう。

こんなかんじ↓

問題(1)なら分母と分子に \(\sqrt{3}\) を、
問題(2)なら分母と分子に \(\sqrt{5}\) をかけるんです。

すると
\( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\)
\( \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\)
となって、ルートが分母からなくなります。

なお問題(2)は \(4 \sqrt{5}\) をかける必要はありません。

\(\sqrt{5}\) のルートだけなくしたいからね。

 

ちなみに、分母と分子に同じ数をかけても等しいままなのはなぜか?

それは、約分の逆をしているだけだからです。

つまり \( \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \) の逆をして

$$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} $$

が成り立つから、分母と分子に同じ数をかけてもOKなんです。

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注意点

例題2)次の数の分母を有理化せよ。

$$ \mbox{(1)} \ \frac{6}{\sqrt{10}} \qquad \mbox{(2)} \ \frac{9}{\sqrt{48}} $$

分母の有理化をするときの注意点は2つ。

  • 有理化したあとの約分を忘れない
  • ルートを簡単にしてから有理化したほうがラク

たとえば例題2-(1)では、

\begin{eqnarray} & & \frac{6 \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} \\ &=& \frac{6 \sqrt{10}}{10} \\ &=& \frac{3 \sqrt{10}}{5} \end{eqnarray}

と、最後の \(6\) と \(10\) を約分しないと不正解になります。

中学生がよく忘れがちな計算です、注意しましょう。

また、例題2-(2)では \(\sqrt{48}\) を簡単にしてから有理化したほうがラクチンです。

以下のふたつの式を見比べれば、一目瞭然でしょう。

ルートを簡単にしてから有理化したほうが、数字が小さくなって計算しやすくなります。

なお、こういう有理化がすらすらできるためにも、前回の記事で述べたように、\(\sqrt{50}\) までの簡単にできる平方根は覚えてしまったほうがいいですね。

\(\sqrt{48}\) が問題に出てくるたびに \(48\) を素因数分解するより、\(\sqrt{48}=4 \sqrt{3}\) と覚えてしまったほうが、よっぽど速くテストが解けると思います。

[前回の記事]

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次は、ルートをふくむ式の乗除計算を解説します。

ルートの計算(乗除)

こんな、ルートのかけ算・わり算の問題。

やり方は前回もちょっと言いましたが、ルートの中どうし・外どうしを計算するだけです。

ルートの乗法・除法のやり方

例題3)次の計算をせよ。

$$ \mbox{(1)} \ 4 \sqrt{12} \times \sqrt{8} \qquad \mbox{(2)} \ 6 \sqrt{35} \div (- \sqrt{45}) $$

ルートのかけ算・わり算をするときにも、ルートを簡単にしてから計算すると数字が小さくなってラクです。

例題3-(1)なら、こんなかんじ↓

\begin{eqnarray} & & 4 \sqrt{12} \times \sqrt{8} \\ &=& 8 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} \\ &=& 16 \sqrt{6} \end{eqnarray}

例題3-(2)なら、こんなかんじ↓

\begin{eqnarray} & & 6 \sqrt{35} \div (- \sqrt{45}) \\ &=& 6 \sqrt{35} \div (-3 \sqrt{5}) \\ &=& -2 \sqrt{7} \end{eqnarray}

ルートの計算問題が出てきたら、なにはともあれまずルートを簡単にしてから、と覚えておいてもいいでしょう。

なお例題3-(1)の \(4 \sqrt{12}\) は

$$ 4 \sqrt{12} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} $$

という計算をしています。

これくらいは暗算でできるようになるのがベスト。

たくさん練習しましょう。

 

注意点

例題4)次の計算をせよ。

$$ \mbox{(1)} \ 2 \sqrt{15} \times \sqrt{21} \qquad \mbox{(2)} \ \sqrt{45} \div 6 \sqrt{30} \times \sqrt{32} $$

ルートのかけ算・わり算における注意点はあと2つ。

  • ルートの中身を素因数分解してもラク
  • わり算は分数にする

たとえば例題4-(1)では、

そのままルートの中どうしをかけ算すると、数字が大きくなってしまいます。

でも \(15\) と \(21\) をあらかじめ素因数分解してやれば、「\(3\) がふたつある」ということがすぐわかる。

「問題式のルートはそれ以上簡単にできないけれど、そのままルートの中どうしをかけ算したら数字がバカでかくなりそう」ってときは、あらかじめルートの中身を素因数分解してやると計算が速くなるでしょう。

 

また、例題4-(2)では、以下のように計算するといいでしょう。

\begin{eqnarray} & & \sqrt{45} \div 6 \sqrt{30} \times \sqrt{32} \\ &=& 3 \sqrt{5} \div 6 \sqrt{30} \times 4 \sqrt{2} \\ &=& \frac{3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{2}}{6 \sqrt{30}} \\ &=& \frac{2}{\sqrt{3}} \\ &=& \frac{2 \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray}

つまり、÷のうしろだけ分母にもってきて分数にしてから、ルートの中どうし・外どうしをそれぞれ約分するんです。

「÷のうしろだけ分母にもってくる」というのは中1・中2でも習ってきた知識ですが、いまいちど確認しましょう。

なお、最後の有理化も忘れずに。また \(\sqrt{30}\) の中身は素因数分解してもOKです。

つづいて、

ルートの加減と展開をそれぞれ解説します。

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