中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。
中３「平方根」の４回目は、ルートの計算ぜんぶを一気に解説します。
つまり
- 分母の有理化
- ルートをふくむ式の乗除
- ルートをふくむ式の加減
- ルートをふくむ式の展開
という４つ。
それぞれの計算のやり方とともに、注意点を伝えていきます。
そして、ルートの計算ぜんぶに共通するコツ。それはルートを簡単にしてから計算したほうがラクってこと。
以下、具体的に見ていきましょう。
分母の有理化
分母の有理化とは、分母からルート（√）をなくすことです。
やり方は、上下に同じ数をかけるだけ。
有理化のやり方
例題1）次の数の分母を有理化せよ。
$$ \mbox{(1)} \ \frac{2}{\sqrt{3}} \qquad \mbox{(2)} \ \frac{\sqrt{6}}{4 \sqrt{5}} $$
じっさいにやってみせましょう。
こんなかんじ↓
問題(1)なら分母と分子に \(\sqrt{3}\) を、
問題(2)なら分母と分子に \(\sqrt{5}\) をかけるんです。
すると
\( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\)
\( \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\)
となって、ルートが分母からなくなります。
なお問題(2)は \(4 \sqrt{5}\) をかける必要はありません。
\(\sqrt{5}\) のルートだけなくしたいからね。
ちなみに、分母と分子に同じ数をかけても等しいままなのはなぜか？
それは、約分の逆をしているだけだからです。
つまり \( \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \) の逆をして
$$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} $$
が成り立つから、分母と分子に同じ数をかけてもＯＫなんです。
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注意点
例題2）次の数の分母を有理化せよ。
$$ \mbox{(1)} \ \frac{6}{\sqrt{10}} \qquad \mbox{(2)} \ \frac{9}{\sqrt{48}} $$
分母の有理化をするときの注意点は２つ。
- 有理化したあとの約分を忘れない
- ルートを簡単にしてから有理化したほうがラク
たとえば例題2-(1)では、
\begin{eqnarray} & & \frac{6 \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} \\ &=& \frac{6 \sqrt{10}}{10} \\ &=& \frac{3 \sqrt{10}}{5} \end{eqnarray}
と、最後の \(6\) と \(10\) を約分しないと不正解になります。
中学生がよく忘れがちな計算です、注意しましょう。
また、例題2-(2)では \(\sqrt{48}\) を簡単にしてから有理化したほうがラクチンです。
以下のふたつの式を見比べれば、一目瞭然でしょう。
ルートを簡単にしてから有理化したほうが、数字が小さくなって計算しやすくなります。
なお、こういう有理化がすらすらできるためにも、前回の記事で述べたように、\(\sqrt{50}\) までの簡単にできる平方根は覚えてしまったほうがいいですね。
\(\sqrt{48}\) が問題に出てくるたびに \(48\) を素因数分解するより、\(\sqrt{48}=4 \sqrt{3}\) と覚えてしまったほうが、よっぽど速くテストが解けると思います。
[前回の記事]
次は、ルートをふくむ式の乗除計算を解説します。
ルートの計算（乗除）
こんな、ルートのかけ算・わり算の問題。
やり方は前回もちょっと言いましたが、ルートの中どうし・外どうしを計算するだけです。
ルートの乗法・除法のやり方
例題3）次の計算をせよ。
$$ \mbox{(1)} \ 4 \sqrt{12} \times \sqrt{8} \qquad \mbox{(2)} \ 6 \sqrt{35} \div (- \sqrt{45}) $$
ルートのかけ算・わり算をするときにも、ルートを簡単にしてから計算すると数字が小さくなってラクです。
例題3-(1)なら、こんなかんじ↓
\begin{eqnarray} & & 4 \sqrt{12} \times \sqrt{8} \\ &=& 8 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} \\ &=& 16 \sqrt{6} \end{eqnarray}
例題3-(2)なら、こんなかんじ↓
\begin{eqnarray} & & 6 \sqrt{35} \div (- \sqrt{45}) \\ &=& 6 \sqrt{35} \div (-3 \sqrt{5}) \\ &=& -2 \sqrt{7} \end{eqnarray}
ルートの計算問題が出てきたら、なにはともあれまずルートを簡単にしてから、と覚えておいてもいいでしょう。
なお例題3-(1)の \(4 \sqrt{12}\) は
$$ 4 \sqrt{12} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} $$
という計算をしています。
これくらいは暗算でできるようになるのがベスト。
たくさん練習しましょう。
注意点
例題4）次の計算をせよ。
$$ \mbox{(1)} \ 2 \sqrt{15} \times \sqrt{21} \qquad \mbox{(2)} \ \sqrt{45} \div 6 \sqrt{30} \times \sqrt{32} $$
ルートのかけ算・わり算における注意点はあと２つ。
- ルートの中身を素因数分解してもラク
- わり算は分数にする
たとえば例題4-(1)では、
そのままルートの中どうしをかけ算すると、数字が大きくなってしまいます。
でも \(15\) と \(21\) をあらかじめ素因数分解してやれば、「\(3\) がふたつある」ということがすぐわかる。
「問題式のルートはそれ以上簡単にできないけれど、そのままルートの中どうしをかけ算したら数字がバカでかくなりそう」ってときは、あらかじめルートの中身を素因数分解してやると計算が速くなるでしょう。
また、例題4-(2)では、以下のように計算するといいでしょう。
\begin{eqnarray} & & \sqrt{45} \div 6 \sqrt{30} \times \sqrt{32} \\ &=& 3 \sqrt{5} \div 6 \sqrt{30} \times 4 \sqrt{2} \\ &=& \frac{3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{2}}{6 \sqrt{30}} \\ &=& \frac{2}{\sqrt{3}} \\ &=& \frac{2 \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray}
つまり、÷のうしろだけ分母にもってきて分数にしてから、ルートの中どうし・外どうしをそれぞれ約分するんです。
「÷のうしろだけ分母にもってくる」というのは中１・中２でも習ってきた知識ですが、いまいちど確認しましょう。
なお、最後の有理化も忘れずに。また \(\sqrt{30}\) の中身は素因数分解してもOKです。
[平方根の記事一覧]
- 中３数学「平方根」のコツ① 平方根とは／平方根の大小
- 中３数学「平方根」のコツ② 有理数と無理数／循環小数と分数
- 中３数学「平方根」のコツ③ 素因数分解／ルートを簡単にする計算
- 中３数学「平方根」のコツ④ 有理化／加減乗除／展開
- 中３数学「平方根」のコツ⑤ 平方根の近似値／式の値
- 中３数学「平方根」のコツ⑥ 最小の自然数ｎ／整数部分と小数部分
つづいて、
ルートの加減と展開をそれぞれ解説します。
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