中学数学「平方根」のコツ⑤ 平方根の近似値・式の値

中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。

中３「平方根」の５回目は、近似値および式の値という応用問題を解説します。

つまり、こんなの↓

例１）$\sqrt{2}=1.414$ , $\sqrt{5}=2.236$ として、次の値を求めよ。
①$\sqrt{200}$ ②$\sqrt{2000}$ ③$\sqrt{0.02}$ ④$\sqrt{0.2}$

例２） $x=6+ \sqrt{6}$ , $y=6- \sqrt{6}$ のとき、次の式の値を求めよ。
①$x^2 +2xy-3y^2$ ②$(2x+y)^2 -(x+2y)^2$

例３） $x+y= \sqrt{7}$ , $xy=3$ のとき、$x^2 +y^2$ の値を求めよ。

それぞれの解き方のコツをわかりやすく伝えます。

定期テストや模試・入試の参考にしてください。

＊なお平方根の大小問題はコツ①の記事で、循環小数を分数で表す問題はコツ②の記事で解説済みです。

＊また「最小の自然数$n$ を求める」問題と「整数部分・小数部分」の問題は次のコツ⑥の記事で解説します。

平方根の近似値の問題

平方根の近似値の問題

こんな近似値の問題。

解き方の基本は、以下のとおり。

ルートの中が自然数→ルートを簡単にする！
ルートの中が小数→分数になおして有理化！

具体的に、やり方をみていきましょう。

√200と√2000の値

例題１）$\sqrt{2}=1.414$ , $\sqrt{5}=2.236$ として、次の値を求めよ。
①$\sqrt{200}$ ②$\sqrt{2000}$

ルートの中身が自然数の場合は、まずルートをかんたんにします。

そうすると、$\sqrt{2}$ や $\sqrt{5}$ といった問題文にある平方根が出てきます。

あとはそこに $1.414$ や $2.236$ といった近似値を当てはめればいいだけ。

解答はこんなかんじです↓

\begin{eqnarray} \mbox{例１）①} & & \sqrt{200} \\ &=& 10 \sqrt{2} \\ &=& 10 \times 1.414 \\ &=& 14.14 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例１）②} & & \sqrt{2000} \\ &=& 20 \sqrt{5} \\ &=& 20 \times 2.236 \\ &=& 44.72 \end{eqnarray}

なお、$\sqrt{200}$ や $\sqrt{2000}$ を簡単にする計算は素因数分解を使いましょう。

やり方は以下の記事を参照。

中学数学「平方根」のコツ③ 素因数分解／ルートを簡単にする計算

中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。中３「平方根」の３回目は素因数分解とルートを簡単にする計算を扱います。つまり $$ 20= 2^2 \times 5 $$ $$ \sqrt{20} = 2 \sqrt{5...

√0.02と√0.2の値

例題１）$\sqrt{2}=1.414$ , $\sqrt{5}=2.236$ として、次の値を求めよ。
③$\sqrt{0.02}$ ④$\sqrt{0.2}$

ルートの中身が小数の場合は、まずその小数を分数に直します。

それからルートを分母と分子に分けて、有理化してやれば、分子に $\sqrt{2}$ や $\sqrt{5}$ といった問題文にある平方根が出てきます。

あとは同様に、近似値を当てはめて計算するのです。

解答をていねいに書くと、こんなかんじ↓

\begin{eqnarray} \mbox{例１）③} & & \sqrt{0.02} \\ &=& \sqrt{\frac{2}{100}} \\ &=& \sqrt{\frac{1}{50}} \\ &=& \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{50}} \\ &=& \frac{1}{5 \sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{10} \\ &=& \frac{1.414}{10} (1.414 \div 10) \\ &=& 0.1414 \end{eqnarray}

＊$\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$ とパッとできない人は上で紹介した「平方根」のコツ③の記事を読んでからここに戻ってきてください。

\begin{eqnarray} \mbox{例１）④} & & \sqrt{0.2} \\ &=& \sqrt{\frac{2}{10}} \\ &=& \sqrt{\frac{1}{5}} \\ &=& \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} \\ &=& \frac{\sqrt{5}}{5} \\ &=& \frac{2.236}{5} (2.236 \div 5) \\ &=& 0.4472 \end{eqnarray}

ルートの中が自然数→ルートを簡単にする！
ルートの中が小数→分数になおして有理化！

これが平方根の近似値問題における基本の解き方です。

なお、「有理化わすれた！」って人は以下の記事を参照。

中学数学「平方根」のコツ④ 有理化／加減乗除／展開

中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。中３「平方根」の４回目は、ルートの計算ぜんぶを一気に解説します。つまり分母の有理化ルートをふくむ式の乗除ルートをふくむ式の加減ルートをふくむ式の展開...

もっとラクなやり方

例題１）$\sqrt{2}=1.414$ , $\sqrt{5}=2.236$ として、次の値を求めよ。
①$\sqrt{200}$ ②$\sqrt{2000}$ ③$\sqrt{0.02}$ ④$\sqrt{0.2}$

で、平方根の近似値問題には実はもっとラクなやり方が存在します。

コツは「１００」を見つけること！

突然ですが、

$$ 200= 2 \times 100 \quad 2000= 20 \times 100 $$

$$ 0.02= \frac{2}{100} \quad 0.2= \frac{20}{100} $$

ですよね。

この知識を使って、問１は以下のように解けます。

\begin{eqnarray} \mbox{例１）①} & & \sqrt{200} \\ &=& \sqrt{2} \times \sqrt{100} \\ &=& 10 \sqrt{2} \\ &=& 10 \times 1.414 \\ &=& 14.14 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例１）②} & & \sqrt{2000} \\ &=& \sqrt{20} \times \sqrt{100} \\ &=& 2 \sqrt{5} \times 10 \\ &=& 20 \sqrt{5} \\ &=& 20 \times 2.236 \\ &=& 44.72 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例１）③} & & \sqrt{0.02} \\ &=& \sqrt{\frac{2}{100}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{100}}\\ &=& \frac{\sqrt{2}}{10} \\ &=& \frac{1.414}{10} (1.414 \div 10) \\ &=& 0.1414 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mbox{例１）④} & & \sqrt{0.2} \\ &=& \sqrt{\frac{20}{100}} \\ &=& \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{100}} \\ &=& \frac{2 \sqrt{5}}{10} \\ &=& \frac{\sqrt{5}}{5} \\ &=& \frac{2.236}{5} (2.236 \div 5) \\ &=& 0.4472 \end{eqnarray}

つまり、$\sqrt{100}=10$ というのをフル活用して解くんです。

こっちのほうが、式は多少長くなりますが、めんどくさい素因数分解や有理化をしなくてもいい。

「１００」を見つけるこのやり方、おススメです。
ぜひ使ってください。

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練習問題

以上、平方根の近似値問題のやり方を２とおり解説しました。

≪基本のやり方≫

ルートの中が自然数→ルートを簡単にする！
ルートの中が小数→分数になおして有理化！

≪ラクなやり方≫

「１００」を見つける！

どちらも使えると、近似値問題はもう怖くないでしょう。

では、練習問題を用意しましたのでどうぞ。

質問はコメント欄からおねがいします。

練習１） $\sqrt{3}=1.732$ , $\sqrt{30}=5.477$ として、次の値を求めよ。
①$\sqrt{300}$ ②$\sqrt{3000}$ ③$\sqrt{0.03}$ ④$\sqrt{0.3}$

解答：①17.32 ②54.77 ③0.1732 ④0.5477

[平方根の記事一覧]

次ページでは「式の値」の問題の解き方を解説します。