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数学

中学数学「連立方程式」の効果的な教え方③ 代入法

投稿日:2019年9月10日 更新日:

中2数学「連立方程式」の教え方、3回目です。

今回は代入法の教え方。

ここでつまずいている中学生にどう教えたらいいか、具体的な指導方法を載せるので参考にしてください。

[関連記事]

前回までの記事の復習

いちおう、前回までのかんたんな復習をしておきます。

「連立方程式」単元の最大の目標は、記述式の解答を書ききる力を生徒に身につけさせること。

そのためにはムダな指導をすべて省いて、

  • まず解き方をぜんぶ示す
  • 何をしたのか、解説する
  • 解答を正確に書き写させる
  • 類題を一緒に解く

という教え方が効果的。

また、指導上の注意点として、

  • ちゃんと書き写せているか手元を見る
  • 一緒に解く際には発問して生徒に考えさせる
  • 答えの確かめを示す

などがありました。

そして、連立方程式の指導順は

  1. 復習をする(1次方程式、代入、式の加減)
  2. 連立方程式とは何かの説明
  3. 加減法の導入(たし算)
  4. 加減法の導入(ひき算)
  5. 加減法つづき(一方だけ係数をそろえる)
  6. 加減法つづき(両方とも係数をそろえる)
  7. 加減法まとめ

という7段階が、導入から加減法まででした。

今回はその続きとして、

  1. 代入法の導入(\(y=\)単項式)
  2. 代入法の導入(\(x=\)単項式)
  3. 代入法つづき(多項式の場合)
  4. 代入法の発展とまとめ

という4段階を、以下、くわしく解説していきます。

[前回までの記事↓]

 

代入法の導入(\(y=\)単項式)

さて、前回まで加減法という解き方を習ってきた。

しかし連立方程式には、もうひとつ解き方がある。

それが「代入法」だ。

解答を示してから、解説

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y = 2x \ \large{\mbox{…①}} \\ 3x+y = 5 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

この連立方程式の問題、①が \(y=2x\) の形になっている。

つまり \(y\) の正体は \(2x\) と言っている。

じゃ、②式の \(y\) のところ、代わりに \(2x\) にしてもいいよね。

つまり②式に \(y=2x\) を代入できるよね。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y = 2x \ \large{\mbox{…①}} \\ 3x+y = 5 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

①を②に代入して

\begin{eqnarray} 3x+2x &=& 5 \\ 5x &=& 5 \\ x &=& 1 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

③を①に代入して

$$ y=2 $$

答.\(x=1 , y=2\)

何をしたかわかるね。

ようするに、\(y=\)■(または \(x=\)■ )という形がどっちかにあれば、その■をもう一方の式に代入する。

そうしたら文字は1種類だけになるから、それを解く。

あとは加減法のときと同じ。

これが代入法の解き方だ。

 

書き写させてから、類題

理解したら、書き写そう。

書き写すときの注意点は加減法のときと同じ。

  • どんな計算をしたのか、ことばを必ず書く。
  • 式どうしの筆算のときや方程式を解くとき、=を縦にそろえるときれい。
  • 答えの形は教科書によっては \((x,y)=(1,2)\) などの場合もある。学校に従うこと。

何よりも、人に見せてもわかりやすい解答を書くことが大事やで。

書き写せたら、類題を解いてみよう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5x-y=-2 \\ y=4x \end{array} \right.\end{eqnarray}

(解答は\(x=-2,y=-8\) )

(めんどいので途中式省略。生徒は必ず書くこと)

>Amazonプライム・ビデオ『博士の愛した数式』

 

代入法の導入(\(x=\)単項式)

もちろん、\(y=\)●の形ばかりじゃない。

\(x=\)●の形もあるぞ。

解答を示してから、解説

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-7y=6 \ \large{\mbox{…①}} \\ x=5y \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

これはこう解きます。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-7y=6 \ \large{\mbox{…①}} \\ x=5y \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

②を①に代入して

\begin{eqnarray} 10y-7y &=& 6 \\ 3y &=& 6 \\ y &=& 2 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

③を②に代入して

$$ x=10 $$

答.\(x=10 , y=2\)

つまり、\(2x-7y=6\) の \(x\) を \(5y\) に入れかえたんだ。

ここで注意せなあかんのは、\(2\) \(x\) ってかけ算でつながってるってこと。

だから代入したら \(2 \times 5y\) で、先頭は \(10y\) になる。

たまに足し算と勘違いする人がいるから、気をつけて。

 

書き写させてから、類題

もうひとつ、書き写しながら聞いてくれ。

学校によっては、こう書く先生もいる↓

②を①に代入して

\begin{eqnarray} 2 \times 5y -7y &=& 6 \\ 10y-7y &=& 6 \\ 3y &=& 6 \\ y &=& 2 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

最初の一行目、必要だと思う?

うん、おれもいらないと思う。

暗算でいけるやん。

つまり代入するのが単項式なら、かけ算は暗算でやってしまえばいいんだ。

一行目を書くことでよけいにごちゃごちゃするからね。

…では、類題。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=-2y \\ 3x+y=5 \end{array} \right.\end{eqnarray}

(解答は\(x=2,y=-1\) )

>Amazonプライム・ビデオ『奇蹟がくれた数式(字幕版)』

 

代入法つづき(多項式の場合)

つづいて、多項式を代入する場合。

解答を示してから、解説

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 8x-3y=9 \ \large{\mbox{…①}} \\ y=2x-1 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

こんな問題のように、多項式を代入する場合は、代入したあとの式をちゃんと書いたほうがいい。

このように↓

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 8x-3y=9 \ \large{\mbox{…①}} \\ y=2x-1 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

②を①に代入して

\begin{eqnarray} 8x-3(2x-1) &=& 9 \\ 8x-6x+3 &=& 9 \\ 2x &=& 6 \\ x &=& 3 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

③を②に代入して

\begin{eqnarray} y &=& 6-1 \\ y &=& 5 \end{eqnarray}

答.\(x=3 , y=5\)

つまり多項式を代入する際には、かっこをつけてあげること。

これがポイント。

 

書き写させてから、類題

たまーに、10人に1人くらい、多項式を代入するときにも暗算でやろうとする中学生がいる。

つまり \(8x-3(2x-1) = 9\) を書かずに

いきなり \(8x-6x+3 = 9\) と書こうとする人。

そういう生徒はだいたい \(8x-6x-3 = 9\) と間違えます。

だから数学の偏差値が70以下の生徒は、かっこをつけて代入した式を書くべきです。

もしあなたが、あるいは今教えている生徒が、全国模試でトップ層の成績なら、暗算でやってもよしとしましょう。

それ以外の生徒はちゃんとかっこを書きましょう。

…では、類題。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=5 \\ x=2y+4 \end{array} \right.\end{eqnarray}

(解答は\(x=-2,y=-3\) )

>Amazonプライム・ビデオ『真夏の方程式』

 

代入法の発展とまとめ

最後に、代入法の発展問題を紹介します。

代入法の発展問題

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=17 \\ 2y=x+5 \end{array} \right.\end{eqnarray}

この連立方程式を代入法で解け、と言われたら、解き方は2つある。

解答1)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=17 \ \large{\mbox{…①}} \\ 2y=x+5 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

②より

\begin{eqnarray} -x &=& -2y+5 \\ x &=& 2y-5 \ \large{\mbox{…②’}}\end{eqnarray}

②’を①に代入して

\begin{eqnarray} 3(2y-5)+2y &=& 17 \\ 6y-15+2y &=& 17 \\ 8y &=& 32 \\ y &=& 4 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

③を②’に代入して

\begin{eqnarray} x &=& 8-5 \\ x &=& 3 \end{eqnarray}

答.\(x=3 , y=4\)

この解き方は、②式をムリヤリ \(x=\)~ の形に変形してから代入したものです。

①式②式を見たときに、係数が1の文字が②の \(x\) だけだったので、そうしました。

こんなやり方もある、ということね。

んで、もうひとつの解き方はこう↓

解答2)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=17 \ \large{\mbox{…①}} \\ 2y=x+5 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

②を①に代入して

\begin{eqnarray} 3x+(x+5) &=& 17 \\ 3x+x+5 &=& 17 \\ 4x &=& 12 \\ x &=& 3 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

③を②に代入して

\begin{eqnarray} 2y &=& 3+5 \\ 2y &=& 8 \\ y &=& 4 \end{eqnarray}

答.\(x=3 , y=4\)

この解き方は、\(2y\) の代わりに \(x+5\) をそのまま放りこんだものです。

①式に \(+2y\) があって、②式が \(2y=\)~ の形だったから、たまたまうまくいった。

こんな問題のように、たまたまうまくいく場合もある。

連立方程式を解くときは、まず問題の形をよく観察すること。

そしてどの方法で解けばいちばんラクできるかと、悩むこと。

こういう考え方を常にするようになると、連立方程式を解くのが得意になります。

 

まとめ

以上、代入法の解き方でした。

まとめると、

  • \(y=\)~ , \(x=\)~ の形があったら代入して解けばいい。
  • ~部分が多項式の場合は、かっこをつけて代入すること。
  • \(y=\)~ , \(x=\)~ の形に変形してもっていけば、代入法は使える。
  • たまに \(2y=\)~ 等のままでうまく代入できる場合がある。問題をよく見ること。

という4点がコツです。

「連立方程式」の教え方① 導入と指導上の注意点

「連立方程式」の教え方② 加減法のつづき

 

さて、ここまでで連立方程式の解き方は「加減法」「代入法」と両方出そろった。

では仕上げに、以下の連立方程式を、加減法と代入法、両方の解き方で解いてみよう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=-1 \\ x-3y=-15 \end{array} \right.\end{eqnarray}

加減法)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=-1 \ \large{\mbox{…①}} \\ x-3y=-15 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

②×3をして

$$ 3x-9y=-45 \ \large{\mbox{…②’}}$$

①-②’をして

\begin{eqnarray} 3x+2y &=& -1 \\ -) \ 3x-9y &=& -45 \\ \hline 11y &=& 44 \\ y &=& 4 \ \large{\mbox{…③}} \end{eqnarray}

③を②に代入して

\begin{eqnarray} x-12 &=& -15 \\ x &=& -3 \end{eqnarray}

答.\(x=-3 , y=4\)

代入法)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=-1 \ \large{\mbox{…①}} \\ x-3y=-15 \ \large{\mbox{…②}} \end{array} \right.\end{eqnarray}

②より

\begin{eqnarray} x=3y-15 \ \large{\mbox{…②’}}\end{eqnarray}

②’を①に代入して

\begin{eqnarray} 3(3y-15)+2y &=& -1 \\ 9y-45+2y &=& -1 \\ 11y&=&44 \\ y&=&4 \ \large{\mbox{…③}}\end{eqnarray}

③を②’に代入して

\begin{eqnarray} x &=& 12-15 \\ x &=& -3 \end{eqnarray}

答.\(x=-3 , y=4\)

 

あなたはどっちの解き方がいいと思う?

加減法?それとも代入法?

そう思った理由は?

連立方程式に限らずだけど、つねにこういう思考を頭の中でするといい。

もういちど言う。

連立方程式を解くときは、まず問題の形をよく観察すること。

そしてどの方法で解けばいちばんラクできるかと、悩むこと。

次回の応用問題でも、この心がけを忘れないように。

中学数学「連立方程式」の効果的な教え方④ 小数・分数問題







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